Question

【題目】四邊形是正方形，是直線(xiàn)上任意一點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)G在BC邊上時(shí)（如圖1），易證DF-BE=EF.

（1）當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，在圖2中補(bǔ)全圖形，寫(xiě)出、、的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2）當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，在圖3中補(bǔ)全圖形，寫(xiě)出、、的數(shù)量關(guān)系，不用證明.

Answer 1

【答案】（1）圖詳見(jiàn)解析，BE＝DF+EF，證明詳見(jiàn)解析；（2）圖詳見(jiàn)解析，EF＝DF+BE.

【解析】

（1）根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形，DF、BE、EF的數(shù)量關(guān)系是：BE＝DF+EF，易證△ABE≌△DAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AF＝BE，DF＝AE， 由此可得BE＝AF＝AE+EF＝DF+EF； （2）根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形，DF、BE、EF的數(shù)量關(guān)系是：EF＝DF+BE；易證△ABE≌△DAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AF＝BE，DF＝AE， 由此可得EF＝AE+AF＝DF+BE．

（1）如圖2，DF、BE、EF的數(shù)量關(guān)系是：BE＝DF+EF，

理由是：∵ABCD是正方形，

∴AB＝DA，∠BAD=90°．

∵BE⊥AG，DF⊥AG，

∴∠AEB＝∠AFD＝90°，

又∵∠BAE+∠DAF＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，

∴∠ABE＝∠DAF，

在△ABE和△DAF中，

，

∴△ABE≌△DAF（AAS），

∴AF＝BE，DF＝AE，

∴BE＝AF＝AE+EF＝DF+EF；

（2）如圖3，DF、BE、EF的數(shù)量關(guān)系是：EF＝DF+BE；

理由是：∵ABCD是正方形，

∴AB＝DA，∠BAD=90°．

∵BE⊥AG，DF⊥AG，

∴∠AEB＝∠AFD＝90°，

又∵∠BAE+∠DAF＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，

∴∠ABE＝∠DAF，

在△ABE和△DAF中，

，

∴△ABE≌△DAF（AAS），

∴AF＝BE，DF＝AE，

∴EF＝AE+AF＝DF+BE．