【題目】如圖,點(diǎn)E為正方形ABCD中AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),AB=16,以BE為邊畫正方形BEFG,邊EF與邊CD交于點(diǎn)H.
(1)當(dāng)E為邊AD的中點(diǎn)時(shí),求DH的長;
(2)當(dāng)tan∠ABE= 時(shí),連接CF,求CF的長;
(3)連接CE,求△CEF面積的最小值.
【答案】
(1)
解:∵四邊形ABCD和四邊形BGFE是正方形,
∴∠D=∠A=∠BEF=90°,
∴∠AEB+∠DEH=∠DEH+∠DHE=90°,
∴∠AEB=∠DHE,
∴△EDH∽△BAE,
∴ ,
∵E為邊AD的中點(diǎn),
∴DE=AE=8,
∴ ,
∴DH=4;
(2)
解:過F作FG⊥DC于點(diǎn)G,F(xiàn)M⊥AD,交AD的延長線于M,連接CF,
∵tan∠ABE= ,AB=16,
∴AE=12,
∴DE=4,
∵∠MEF+∠AEB=∠AEB+∠ABE=90°,
∴∠MEF=∠ABE,
∴tan∠MEF= ,
∴ME=16,F(xiàn)M=12,
∴DM=12,
∴DM=MF,
∴四邊形DGFM是正方形,
∴FG=12,HG=9,
∴CG=4,
∴FC= =4
(3)
解:∵S△CEF=S△CHF+S△CHE= CHEM,
∵△EMF≌△BAE,
∴EM=AB=16,
∴S△CEF=8CH,
∵△EDH∽△BAE,
∴ ,
設(shè)AE為x,則DH= (﹣x2+16x)=﹣ (x﹣8)2+4≤4,
∴DH≤4,
∴CH≥12,CH最小值是12,
∴△CEF面積的最小值是96
【解析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠D=∠A=∠BEF=90°,根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠AEB=∠DHE,根據(jù)相似三角形的想知道的 ,代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論;(2)過F作FG⊥DC于點(diǎn)G,F(xiàn)M⊥AD,交AD的延長線于M,連接CF,根據(jù)已知條件得到AE=12,求得DE=4,根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠MEF=∠ABE,等量代換得到tan∠MEF= 求得ME=16,F(xiàn)M=12,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論;(3)由于S△CEF=S△CHF+S△CHE= CHEM,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EM=AB=16,求得S△CEF=8CH,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 ,設(shè)AE為x,于是得到DH= (﹣x2+16x)=﹣ (x﹣8)2+4≤4,即可得到結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握正方形四個(gè)角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對(duì)角線相等,并且互相垂直平分,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角;正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形;正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形;對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形才能正確解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題背景
在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,張老師要求同學(xué)們拿兩張大小不同的矩形紙片進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換探究活動(dòng).如圖1,在矩形紙片ABCD和矩形紙片EFGH中,AB=1,AD=2,且EF>AD,F(xiàn)G>AB,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),矩形紙片EFGH以點(diǎn)E為旋轉(zhuǎn)中心進(jìn)行逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過程中會(huì)產(chǎn)生怎樣的數(shù)量關(guān)系,提出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問題并加以解決.
解決問題
下面是三個(gè)學(xué)習(xí)小組提出的數(shù)學(xué)問題,請(qǐng)你解決這些問題.
(1)“奮進(jìn)”小組提出的問題是:如圖1,當(dāng)EF與AB相交于點(diǎn)M,EH與BC相交于點(diǎn)N時(shí),求證:EM=EN.
(2)“雄鷹”小組提出的問題是:在(1)的條件下,當(dāng)AM=CN時(shí),AM與BM有怎樣的數(shù)量關(guān)系,說明理由.
(3)“創(chuàng)新”小組提出的問題是;若矩形EFGH繼續(xù)以點(diǎn)E為旋轉(zhuǎn)中心進(jìn)行逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)∠AEF=60°時(shí),請(qǐng)你在圖2中畫出旋轉(zhuǎn)后的示意圖,并求出此時(shí)EF將邊BC分成的兩條線段的長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:如果10b=n,那么稱b為n的勞格數(shù),記為b= d(n).
(1)根據(jù)勞格數(shù)的定義,可知d(10)=1,d(102)=2,直接寫出 d(103)的值.
(2)勞格數(shù)有如下運(yùn)算性質(zhì):若m,n為正數(shù),則d(mn)= d(m)+ d(n);d()= d(m)- d(n).
根據(jù)運(yùn)算性質(zhì),求:,若 ,直接寫出,的值.
(3)下表中與數(shù)x對(duì)應(yīng)的勞格數(shù) 有且只有兩個(gè)是錯(cuò)誤的,請(qǐng)找出錯(cuò)誤的勞格數(shù)并改正.
1.5 | 3 | 5 | 6 | 8 | 9 | 12 | 27 | |
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【題目】函數(shù)的自變量x滿足 ≤x≤2時(shí),函數(shù)值y滿足 ≤y≤1,則這個(gè)函數(shù)可以是( )
A.y=
B.y=
C.y=
D.y=
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=kx+5經(jīng)過點(diǎn)B(3,9)和A(﹣6,m).
(1)求k,m的值;
(2)求△AOB的面積.
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【題目】把一條12個(gè)單位長度的線段分成三條線段,其中一條線段成為4個(gè)單位長度,另兩條線段長都是單位長度的整數(shù)倍.
(1)不同分段得到的三條線段能組成多少個(gè)不全等的三角形?用直尺和圓規(guī)作這些三角形(用給定的單位長度,不寫作法,保留作圖痕跡);
(2)求出(1)中所作三角形外接圓的周長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,10個(gè)邊長為1的正方形如圖擺放在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過原點(diǎn)的一條直線l將這10個(gè)正方形分成面積相等的兩部分,則該直線l的解析式為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線PD垂直平分⊙O的半徑OA于點(diǎn)B,PD交⊙O于點(diǎn)C、D,PE是⊙O的切線,E為切點(diǎn),連結(jié)AE,交CD于點(diǎn)F.
(1)若⊙O的半徑為8,求CD的長;
(2)證明:PE=PF;
(3)若PF=13,sinA= ,求EF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】教師運(yùn)動(dòng)會(huì)中,甲,乙兩組教師參加“兩人背夾球”往返跑比賽,即:每組兩名教師用背部夾著球跑完規(guī)定的路程,若途中球掉下時(shí)須撿起并回到掉球處繼續(xù)賽跑,用時(shí)少者勝.若距起點(diǎn)的距離用y(米)表示,時(shí)間用x(秒)表示.下圖表示兩組教師比賽過程中y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象.根據(jù)圖象,有以下四個(gè)推斷:
①乙組教師獲勝
②乙組教師往返用時(shí)相差2秒
③甲組教師去時(shí)速度為0.5米/秒
④返回時(shí)甲組教師與乙組教師的速度比是2:3
其中合理的是( )
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①④
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