Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A、B，AB=2，與y軸交于點C，對稱軸為直線x=2，對稱軸交x軸于點M．

（1）求拋物線的函數解析式；
（2）設P為對稱軸上一動點，求△APC周長的最小值；
（3）設D為拋物線上一點，E為對稱軸上一點，若以點A、B、D、E為頂點的四邊形是菱形，則點D的坐標為 ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：拋物線與x軸交于點A、B，且AB=2，

根據對稱性，得AM=MB=1，

∵對稱軸為直線x=2，

∴OA=1，OB=3，

∴點A、B的坐標分別為（1，0）、（3，0），

把A、B兩點坐標代入y=x2+bx+c，得到 ，

解得 ，

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣4x+3

（2）

解：如圖1中，連結BC，與對稱軸交點則為點P，連接AP、AC．

由線段垂直平分線性質，得AP=BP，

∴CB=BP+CP=AP+CP，

∴AC+AP+CP=AC+BC，

根據“兩點之間，線段最短”，得△APC周長的最小，

∵C為（0，3）

∴OC=3，

在Rt△AOC中，有AC= = ，

在Rt△BOC中，有BC= =3 ，

∴△APC的周長的最小值為： +3

（3）（2，﹣1）
【解析】解： （3）如圖2中，當點D為拋物線的頂點時，EM=DM時，以點A、B、D、E為頂點的四邊形是菱形，此時點D（2，﹣1）

所以答案是D（2，﹣1）．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的圖象和二次函數的性質，需要了解二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．