Question

【題目】已知直線與雙曲線交于，兩點，過作軸于點，過作軸于點，連接．

（Ⅰ）求，兩點的坐標；

（Ⅱ）試探究直線與的位置關系并說明理由．

（Ⅲ）已知點，且，在拋物線上，若當（其中）時，函數的最小值為，最大值為，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）若，則，，若，則，；（Ⅱ），理由見解析；（Ⅲ）的值為

【解析】

（Ⅰ）把直線y＝x＋t與雙曲線的解析式聯立成方程組，解方程組即可求出交點坐標，即C、D兩點的坐標；

（Ⅱ）位置關系是：平行，求出直線AB的解析式，與直線CD的解析式y＝x＋t比較，k相等說明兩直線平行；

（Ⅲ）先求出C點坐標，再利用待定系數法求出拋物線的解析式，最后通過分類討論：①當時，②當，③當，分別根據函數的最小值為，最大值為，結合二次函數的性質列出方程，得出m，n的值．

解：（Ⅰ）聯立，解得：或，

設，，

若，則，，

若，則，；

（Ⅱ），

理由：不妨設，

由（1）知， ，

∴，，

設直線的解析式為，

則將，兩點坐標代入有：，，

∴，

∴直線的解析式為：，

∴直線與的位置關系是；

（Ⅲ）將代入雙曲線得，

將代入直線，得，

∵，

∴由（Ⅰ）知，

∴，

∵，在拋物線上，

∴，解得，

即，

由，可知，，

①當時，由函數的最小值為，最大值為，可知，

∴，即為一元二次方程的兩解，即，

∵，

∴，．

又∵，

∴此情況不合題意；

②當，即時，

由函數的最小值為，最大值為，可知，

解得：，

此時，即，符合題意，

∴；

③當，即時，

由函數的最小值為，最大值為，可知，

解得：，

∵，

∴此情況不合題意，

綜上所述，滿足題意的的值為．