Question

18．D為等腰Rt△ABC斜邊BC上一點（不與B、C重合），DE⊥BC于點D，交直線BA于點E，作∠EDF=45°，DF交AC于F，連接EF，BD=nDC，當n=$\frac{1}{2}$或1時，△DEF為等腰直角三角形．

Answer 1

分析 分兩種情況：①當∠DEF=90°時，由題意得出EF∥BC，作FG⊥BC于G，證出△CFG、△BDE是等腰直角三角形，四邊形EFGD是正方形，得出BD=DE=EF=DG=FG=CG，即可得出結(jié)果；
②當∠EFD=90°時，求出∠DEF=45°，得出E與A重合，D是BC的中點，BD=CD，即可得出結(jié)果．

解答 解：分兩種情況：
①當∠DEF=90°時，如圖1所示：
∵DE⊥BC，
∴∠BDE=90°=∠DEF，
∴EF∥BC，
作FG⊥BC于G，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴△CFG、△BDE是等腰直角三角形，四邊形EFGD是正方形，
∴BD=DE=EF=DG=FG=CG，
∴BD=$\frac{1}{2}$CD，
∴n=$\frac{1}{2}$；
②當∠EFD=90°時，如圖2所示：
∵∠EDF=45°，
∴∠DEF=45°，此時E與A重合，D是BC的中點，
∴BD=CD，
∴n=1．
故答案為：$\frac{1}{2}$或1．

點評 本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定、正方形的判定與性質(zhì)；熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，分兩種情況討論是解決問題的關(guān)鍵．