【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于點A、B（5,0），與y軸交于點C，拋物線的頂點為M(2,-9)，連接BM，點P為線段BM上的一個動點．

(1)求二次函數(shù)的解析式．

(2)過點P作x軸的垂線，垂足為點Q，求四邊形ACPQ面積的最大值．

(3)是否存在點P，使得以P、M、C為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）存在，，或 或

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的頂點為，將化成頂點式，然后將點代入，化簡計算即可；

（2）求出A，B，C三點的坐標，可得直線的表達式為，設(shè)點，則，根據(jù)化簡求解即可；

（3）分三種情況討論：當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時分別求解即可.

解：（1）拋物線的頂點為，

設(shè)拋物線的表達式為.

將點代入得，.

解得

二次函數(shù)的表達式為；

（2）令，得，

.

拋物線的對稱軸為直線，，

.

由，可得直線的表達式為，

設(shè)點，則，

則

.

,,

當(dāng)時，四邊形面積有最大值，最大值為；

（3）存在，由（2）知直線的表達式為.

設(shè)，其中，

由，，可得，

，，；

分情況討論如下：

1. 當(dāng)時，有.

解得（舍），，

此時點的坐標為；

2. 當(dāng)時，有.

解得（舍），，

此時點的坐標為；

3. 當(dāng)時，有.

解得

此時點的坐標為；

綜上所述，當(dāng)是等腰三角形時，點的坐標為，或 或.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】愛好思考的小明在探究兩條直線的位置關(guān)系查閱資料時，發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”，即兩條中線相互垂直的三角形“中垂三角形”，如圖（1）、圖（2）、圖（3）中，AM、BN是△ABC的中線，AM⊥BN于點P，像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”．設(shè)BC=a，AC=b，AB=c．

（特例研究）

（1）如圖1，當(dāng)tan∠PAB=1，c=4時，a=b= ；

（歸納證明）

（2）請你觀察（1）中的計算結(jié)果，猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖2證明你的結(jié)論；

（拓展證明）

（3）如圖4，ABCD中，E、F分別是AD、BC的三等分點，且AD=3AE，BC=3BF，連接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF交BE相較于點G，AD=3，AB=3，求AF的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AB=5cm，BD=8cm．點P從點B出發(fā)，沿BA方向勻速運動，速度為；同時，點Q從點D出發(fā)，沿DA方向勻速運動，速度為1cm/s．過點P作PN∥BC分別交BD，CD于點M,N，連接QM，QN．設(shè)運動時間為．解答下列問題：

（1）當(dāng)為何值時，點在線段的垂直平分線上？

（2）設(shè)的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在運動過程中，是否存在某一時刻，使的面積為菱形面積的，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；

（4）是否存在某一時刻，使為等腰三角形？若存在，請直接寫出的值；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校在宣傳“民族團結(jié)”活動中，采用四種宣傳形式：A．器樂，B．舞蹈，C．朗誦，D．唱歌．每名學(xué)生從中選擇并且只能選擇一種最喜歡的，學(xué)校就宣傳形式對學(xué)生進行了抽樣調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．

請結(jié)合圖中所給信息，解答下列問題：

(1)本次調(diào)查的學(xué)生共有_____人；

(2)補全條形統(tǒng)計圖；

(3)該校共有1200名學(xué)生，請估計選擇“唱歌”的學(xué)生有多少人？

(4)七年一班在最喜歡“器樂”的學(xué)生中，有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)表現(xiàn)優(yōu)秀，現(xiàn)從這四位同學(xué)中隨機選出兩名同學(xué)參加學(xué)校的器樂隊，請用列表或畫樹狀圖法求被選取的兩人恰好是甲和乙的概率．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，直線，點A1坐標為（1，0），過點A1作x軸的垂線交直線于點B1，以原點O為圓心，OB1長為半徑畫弧交x軸于點A2；再過點A2作x軸的垂線交直線于點B2，以原點O為圓心，OB2長為半徑畫弧交x軸于點A3，…，按此做法進行下去，點A2020的坐標為______________．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】新冠肺炎疫情期間，小明同學(xué)想利用所學(xué)的知識測量他家對面某廣告牌的寬度（圖中線段MN的長），直線MN垂直于地面，垂足為點P．在地面A處測得點M的仰角為58°、點N的仰角為45°，在B處測得點M的仰角為30°，AB＝5米，且A、B、P三點在一直線上．請根據(jù)以上數(shù)據(jù)求廣告牌的寬MN的長．（參考數(shù)據(jù)：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60，=1.73．）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校為了解學(xué)生課外閱讀情況，就學(xué)生每周閱讀時間線上隨機調(diào)查了部分學(xué)生，調(diào)查結(jié)果整理如下：

閱讀時間人數(shù)統(tǒng)計表

閱讀時間t（小時）

人數(shù)

占人數(shù)百分比

0≤t＜0.5

4

20%

0.5≤t＜1

m

15%

1≤t＜1.5

5

25%

1.5≤t＜2

6

n

2≤t＜2.5

2

10%

根據(jù)圖表解答下列問題：

（1）此次抽樣調(diào)查中，共抽取了　 　名學(xué)生；

（2）在閱讀時間人數(shù)統(tǒng)計表中m＝　 　，n＝　 　；

（3）根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果，請估計該校2000名學(xué)生中有多少名學(xué)生每天閱讀時間在2≤t＜2.5時間段？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖1,在矩形的邊上存在點,使得,我們稱點為矩形的“和諧點

(1)求證: ;

(2)如圖2,矩形的頂點的坐標為為坐標原點,點分別在軸和軸上,在邊上是否存在“和諧點”，如果存在,求出點的坐標;如果不存在,請說明理由

(3)在(2)中,如果點的坐標為,且在上存在“和諧點”求的取值范圍

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖1，拋物線與軸交于點，與軸交于點，在軸上有一動點，過點作軸的垂線交直線于點，交拋物線于點，過點作于點．

（1）求的值和直線的函數(shù)表達式；

（2）設(shè)的周長為，的周長為，若，求的值；

（3）如圖2，在（2）條件下，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為，連接、，求的最小值．

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