Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C（0，3），點B坐標是（3，0），設拋物線的頂點為點D．

（1）求此拋物線的解析式與對稱軸；
（2）作直線BC，與拋物線的對稱軸交于點E，點P為直線BC上方的二次函數上一個動點（且點P與點B，C不重合），過點P作PF∥DE交直線BC于點F，設點P的橫坐標為m；
①用含m的代數式表示線段PF的長，并求出當m為何值時，四邊形PDEF為平行四邊形？
②設△PBC的面積為S，求S與m的函數關系式．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求出此時P點坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將點C（0，3）、B（3，0）代入拋物線的解析式得： ，

解得： ，

拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．

∵x=﹣ ，

∴x=﹣ =1．

∴拋物線的對稱軸為x=1

（2）

解：①如圖1所示：

∵將x=1代入得拋物線的解析式得y=4．

∴點D的坐標為（1，4）．

設直線BC的解析式為ykx+b，將點B、C的坐標代入得： ，

解得： ．

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3．

將x=1代入y=﹣x+3得：y=﹣1+3=2．

∴點E的坐標為（1，2）．

∴DE=2．

∵點P的橫坐標為m，

∴yp=﹣m2+2m+3，yF=﹣m+3．

∴PF=yp﹣yF=﹣m2+3m．

∵四邊形PDEF為平行四邊形，

∴PF=DE=2，即﹣m2+3m=2．

解得：m=2或m=1（舍去）．

∴當m=2時，四邊形PDEF為平行四邊形．

②存在：

理由：如圖2所示：

= =﹣ （m2﹣3m）=﹣ + ．

當m= 時，△PBC的面積由最大值，最大值為 ．

∵將x= 代入拋物線的解析式得：y= ．

∴點P的坐標為（ ， ）

【解析】（1）將點C（0，3）、B（3，0）代入拋物線的解析式可求得得： ，從而求得拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3，由x=﹣ 可求得拋物線的對稱軸方程為x=1；（2）①如圖1所示：先求得點D的坐標，然后依據待定系數法求得直線BC的解析式為y=﹣x+3，將x=1代入y=﹣x+3得y=2，從而得到ED=2，由點P的橫坐標為m，可求得yp=﹣m2+2m+3，yF=﹣m+3．故此PF=yp﹣yF=﹣m2+3m．當PF=DE=2時四邊形PDEF為平行四邊形，從而可求得m=2；
②由 可知S=﹣ + ，故此可知當m= 時，最大值為 ．將x= 代入拋物線的解析式得：y= ．故此可知點P的坐標為（ ， ）．
【考點精析】關于本題考查的函數關系式和二次函數的圖象，需要了解用來表示函數關系的數學式子叫做函數解析式或函數關系式；二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點才能得出正確答案．