【題目】如圖所示,矩形中,,,點(diǎn)上,.動點(diǎn)、分別從點(diǎn)同時(shí)出發(fā),沿射線、線段向點(diǎn)的方向運(yùn)動(點(diǎn)可運(yùn)動到的延長線上),當(dāng)動點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時(shí),、兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動.聯(lián)結(jié)、,過三邊的中點(diǎn)作.設(shè)動點(diǎn)的速度都是1個(gè)單位/秒,、運(yùn)動的時(shí)間為.試解答下列問題:

1)說明;

2)設(shè),試問為何值時(shí),為直角三角形?

3)試用含的代數(shù)式表示,并求當(dāng)為何值時(shí),最?求此時(shí)的值.

【答案】1)見解析;(2)當(dāng)時(shí),為直角三角形;(3)當(dāng)時(shí), 的值最小,;當(dāng)時(shí),的值也最小,.

【解析】

1)由根據(jù)題意可知P、W、Q分別是△FMN三邊的中點(diǎn),可得PW是△FMN的中位線,然后即可證明△FMN∽△QWP;

2)由(1)得,△FMN∽△QWP,當(dāng)△QWP為直角三角形時(shí),△FMN為直角三角形,根據(jù)DMBNx,AN6x,AM4x,利用勾股定理求得FM24x2MN2=(4x2+(6x2,FN2=(4x216,然后分①當(dāng)MN2FM2FN2時(shí),②當(dāng)FN2FM2MN2時(shí),③FM2MN2FN2時(shí)三種情況討論即可.

3)根據(jù)①當(dāng)0x4,即MDA運(yùn)動時(shí),MNANAN6x,故只有當(dāng)x4時(shí),MN的值最小即可求得答案,②當(dāng)4x6時(shí),MN2AM2AN2=(x42+(6x2,解得x即可.

(1)由題意可知、分別是三邊的中點(diǎn),

的中位線,即,

同理,.

,

同理.

2)由(1)得,,

故當(dāng)為直角三角形時(shí),為直角三角形,

反之亦然.

由題意可得,,

由勾股定理分別得,,.

過點(diǎn)NNKCDK

CKBNx,

CFCDDF624,

FK4x,

FN2NK2FK2=(4x216

當(dāng)MN2FM2FN2時(shí),(4x2+(6x24x2+(4x216

解得x,

當(dāng)時(shí),,

此方程無實(shí)數(shù)根.

時(shí),,

解得(不合題意,舍去),

綜上,當(dāng)時(shí),為直角三角形

3當(dāng),即運(yùn)動時(shí),,,

故只有當(dāng)時(shí),的最小值,的值也最小,

此時(shí);

當(dāng)時(shí),,

當(dāng)取得最小值2,

當(dāng)時(shí),的值最小,此時(shí).

綜上:當(dāng)時(shí), 的值最小,;當(dāng)時(shí),的值也最小,.

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【題目】如圖,點(diǎn)邊的中點(diǎn),,以為直徑的經(jīng)過,連接,有下列結(jié)論:①;;;的切線.其中正確的結(jié)論是(

A.B.C.D.③④

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某單位員工去風(fēng)景區(qū)旅游,共支付給旅行社旅游費(fèi)用10500元,請問該單位這次共有多少員工去風(fēng)景區(qū)旅游?

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1)求證:CEO的切線.

2)如圖2,點(diǎn)FO上,且滿足∠FCE2ABC,連接AF井延長交EC的延長線于點(diǎn)G

試探究線段CFCD之間滿足的數(shù)量關(guān)系;

CD4BD2,求線段FG的長.

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1)猜想直線MN⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;

2)若CD=6,cos∠ACD=,求⊙O的半徑.

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【題目】已知AB是⊙O的直徑,弦CDABH,過CD延長線上一點(diǎn)E作⊙O的切線交AB的延長線于F,切點(diǎn)為G,連接AGCDK

1)如圖1,求證:KE=GE;

2)如圖2,連接CABG,若∠FGB=ACH,求證:CAFE;

3)如圖3,在(2)的條件下,連接CGAB于點(diǎn)N,若sinE=,AK=,求CN的長.

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