Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+3與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在第三象限的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)D．

①如圖（1），若四邊形ODAE是以O(shè)A為對(duì)角線的平行四邊形，當(dāng)平行四邊形ODAE的面積為6時(shí)，請(qǐng)判斷平行四邊形ODAE是否為菱形？說(shuō)明理由．

②如圖（2），直線y=x+3與拋物線交于點(diǎn)Q、C兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作直線DF⊥x軸于點(diǎn)H，交QC于點(diǎn)F．請(qǐng)問(wèn)是否存在這樣的點(diǎn)D，使點(diǎn)D到直線CQ的距離與點(diǎn)C到直線DF的距離之比為：2？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）把點(diǎn)A（﹣4，0）、B（﹣1，0）代入解析式y(tǒng)=ax²+bx+3，

得，解得，

∴拋物線的解析式為：y=x²+x+3．

（2）①如答圖2﹣1，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H．

∵S_▱ODAE=6，OA=4，

∴S_△AOD=OA•DH=3，

∴DH=．

因?yàn)镈在第三象限，所以D的縱坐標(biāo)為負(fù)，且D在拋物線上，

∴x²+x+3=﹣，

解得：x₁=﹣2，x₂=﹣3．

∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣2，﹣）或（﹣3，﹣）．

當(dāng)點(diǎn)D為（﹣2，﹣）時(shí)，DH垂直平分OA，平行四邊形ODAE為菱形；

當(dāng)點(diǎn)D為（﹣3，﹣）時(shí)，OD≠AD，平行四邊形ODAE不為菱形．

②假設(shè)存在．

如答圖2﹣2，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥CQ于M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥DF于N，則DM：CN=：2．

設(shè)D（m，m²+m+3）（m＜0），則F（m，m+3）．

∴CN=﹣m，NF=﹣m

∴CF==﹣m．

∵∠DMF=∠CNF=90°，∠DFM=∠CFN，

∴△DMF∽△CNF，

∴，

∴DF=CF=﹣m．

∴DN=NF+DF=﹣m﹣m=﹣m．

又DN=3﹣（m²+m+3）=﹣m²﹣m，

∴﹣m²﹣m=﹣m

解得：m=﹣或m=0（舍去）

∴m²+m+3=﹣

∴D（﹣，﹣）．

綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣，﹣）．