Question

7．如圖甲，點C將線段AB分成兩部分（AC＞BC），如果$\frac{AC}{AB}$=$\frac{BC}{AC}$，那么稱點C為線段AB的黃金分割點．某數(shù)學興趣小組在進行課題研究時，由黃金分割點聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成面積分別為S₁，S₂（S₁＞S₂）的兩部分，如果$\frac{{S}_{1}}{S}$=$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線．
（1）如圖乙，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ACB的平分線交AB于點D，請問點D是否是AB邊上的黃金分割點，并證明你的結論；
（2）若△ABC在（1）的條件下，如圖丙，請問直線CD是不是△ABC的黃金分割線，并證明你的結論；
（3）如圖丁，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為斜邊AB上的一點，（不與A，B重合）過D作DE⊥BC于點E，連接AE，CD相交于點F，連接BF并延長，與DE，AC分別交于點G，H．請問直線BH是直角三角形ABC的黃金分割線嗎？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件可以證明AD=CD=BC，由△BCD∽△BCA，得到$\frac{BC}{BD}=\frac{BD}{BC}$，則有$\frac{AD}{AB}=\frac{BD}{AD}$，所以點D是AB邊上的黃金分割點．
（2）只要證明_△ACD：S_△ABC=S_△BCD：S_△ACD，即可得出直線CD是△ABC的黃金分割線．
（3）只要證明AH=HC，則S_△ABH=S_△CBH，所以BH不是△ABC的黃金分割線．

解答 解：（1）點D是AB邊上的黃金分割點．理由如下：
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB=72°，
∵CD是角平分線，
∴∠ACD=∠BCD=36°，
∴∠A=∠ACD，
∴AD=CD，
∵∠CDB=180°-∠B-∠BCD=72°，
∴∠CDB=∠B，
∴BC=CD，
∴BC=AD．
在△BCD與△BCA中，∠B=∠B，∠BCD=∠A=36°，
∴△BCD∽△BAC，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{BD}{BC}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{BD}{AD}$，
∴點D是AB邊上的黃金分割點．
（2）直線CD是△ABC的黃金分割線．理由如下：
設△ABC中，AB邊上的高為h，則S_△ABC=$\frac{1}{2}$ AB•h，S_△ACD=$\frac{1}{2}$ AD•h，S_△BCD=$\frac{1}{2}$ BD•h，
∴S_△ACD：S_△ABC=AD：AB，S_△BCD：S_△ACD=BD：AD，
由（1）知，點D是AB邊上的黃金分割點，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{BD}{AD}$，
∴S_△ACD：S_△ABC=S_△BCD：S_△ACD，
∴CD是△ABC的黃金分割線．
（3）直線BH不是△ABC的黃金分割線．理由如下：
∵DE∥AC，
∴$\frac{DG}{HC}=\frac{FG}{FH}=\frac{GE}{AH}$，$\frac{DG}{AH}=\frac{BG}{BH}=\frac{EG}{HC}$，
∴$\frac{DG}{GE}=\frac{HC}{AH}$，$\frac{DG}{GE}=\frac{AH}{HC}$，
∴$\frac{HC}{AH}=\frac{AH}{HC}$，
∴AH²=HC²，
∴AH=HC，
∴S_△BHA=S_△BHC=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴BH不是△ABC的黃金分割線．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、含36°角的等腰三角形、黃金分割、三角形中線的性質(zhì)等知識點，理解題中給出的黃金分割點、黃金分割線的概念是正確解題的基礎，用比例式證明線段相等是解題的關鍵．