Question

13．如圖，四邊形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足為點F，E為四邊形ABCD外一點，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC，DA平分∠BDE．
（1）求證：四邊形ABDE是菱形；
（2）如果AB=5，AD=6，求四邊形ABDE的面積．

Answer 1

分析 （1）通過BD垂直AC，AE⊥AC，說明AE∥BD，通過∠ADE=∠BAD，說明AB∥ED，從而說明四邊形ABDE是平行四邊形，再有DA平分∠BDE，說明AE=ED，所以平行四邊形ABDE是菱形．
（2）過點E作AD的高線，求出高長，計算出△AED的面積，再計算出菱形ABDE的面積．

解答 （1）證明：∵BD垂直平分AC，
∴∠CFD=90°，
∵AE⊥AC，
∴∠EAC=90°，
∴∠CFD=∠EAC
∴AE∥BD
∵∠ADE=∠BAD，
∴AB∥ED，
∴四邊形ABDE是平行四邊形
∵DA平分∠BDE，
∴∠BAD=∠EAD．
∵∠ADE=∠BAD，
∴∠EAD=∠ADE，
∴AE=ED
∴四邊形ABDE是菱形．
（2）解：過點E作EG⊥AD，
∵AE=ED，
∴AG=GD=3，
又∵ED=AB=5，
∴在RT△EDG中，EG=4
∴S_△AED=$\frac{1}{2}$AD•EG=$\frac{1}{2}$×6×4=12．
∴S_{四邊形ABDE}=2S_△AED=2×12=24．

點評 本題考查了平行四邊形、菱形的判定和三角形的面積．菱形的一條對角線把菱形分成兩個全等的三角形，兩條對角線把菱形分成四個全等的直角三角形，菱形的面積=$\frac{1}{2}$邊×該邊上的高=$\frac{1}{2}$×兩條對角線的積．