【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,將長(zhǎng)為4的線段QR的 兩 端放在正方形的相鄰的兩邊上同時(shí)滑動(dòng).如果點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā),沿圖中所示方向按A→B→C→D→A滑動(dòng)到A止,同時(shí)點(diǎn)R從點(diǎn)B出發(fā),沿圖中所示方向按B→C→D→A→B滑動(dòng)到B止,在這個(gè)過程中,線段QR的中點(diǎn)M所經(jīng)過的路線圍成的圖形的面積為_____________.

【答案】16-4π

【解析】根據(jù)題意得點(diǎn)M到正方形各頂點(diǎn)的距離都為2,點(diǎn)M所走的運(yùn)動(dòng)軌跡為以正方形各頂點(diǎn)為圓心,以2為半徑的四個(gè)扇形,

∴點(diǎn)M所經(jīng)過的路線圍成的圖形的面積為正方形ABCD的面積減去4個(gè)扇形的面積。

而正方形ABCD的面積為4×4=16,4個(gè)扇形的面積為=4π,

∴點(diǎn)M所經(jīng)過的路線圍成的圖形的面積為164π.

故答案為164π

點(diǎn)睛: 根據(jù)直角三角形的性質(zhì),斜邊上的中線等于斜邊的一半,可知:點(diǎn)M到正方形各頂點(diǎn)的距離都為2,故點(diǎn)M所走的運(yùn)動(dòng)軌跡為以正方形各頂點(diǎn)為圓心,以2為半徑的四個(gè)扇形,點(diǎn)M所經(jīng)過的路線圍成的圖形的面積為正方形ABCD的面積減去4個(gè)扇形的面積.

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(1)求拋物線的解析式;

(2)若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn),其橫坐標(biāo)為t,

①設(shè)拋物線對(duì)稱軸l與x軸交于一點(diǎn)E,連接PE,交CD于F,求出當(dāng)△CEF與△COD相似時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo);

②是否存在一點(diǎn)P,使△PCD得面積最大?若存在,求出△PCD的面積的最大值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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