Question

如圖，點(diǎn)P是菱形ABCD對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，連接DP并延長DP交邊AB于點(diǎn)E，連接BP并延長交邊AD于點(diǎn)F，交CD的延長線于點(diǎn)G．
（1）求證：△APB≌△APD；
（2）已知DF：FA=1：2，設(shè)線段DP的長為x，線段PF的長為y．
①求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)x=6時(shí)，求線段FG的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出△APB≌△APD；
（2）①首先證明△DFP≌△BEP，進(jìn)而得出=，=，進(jìn)而得出=，即=，即可得出答案；
②根據(jù)①中所求得出PF=PE=4，DP=PB=6，進(jìn)而得出==，求出即可．
解答：（1）證明：∵點(diǎn)P是菱形ABCD對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，
∴∠DAP=∠PAB，AD=AB，
∵在△APB和△APD中
，
∴△APB≌△APD（SAS）；

（2）解：①∵△APB≌△APD，
∴DP=PB，∠ADP=∠ABP，
∵在△DFP和△BEP中，
，
∴△DFP≌△BEP（ASA），
∴PF=PE，DF=BE，
∵GD∥AB，
∴=，
∵DF：FA=1：2，
∴=，=，
∴=，
∵=，即=，
∴y=x；

②當(dāng)x=6時(shí)，y=×6=4，
∴PF=PE=4，DP=PB=6，
∵==，
∴=，
解得：FG=5，
故線段FG的長為5．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)平行關(guān)系得出=，=是解題關(guān)鍵．