Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝90°，四邊形EBOC是平行四邊形，EB交⊙O于點D，連接CD并延長交AB的延長線于點F．

（1）求證：CF是⊙O的切線；

（2）若∠F＝30°，EB＝8，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留根號和π）

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）連接OD，如圖，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得OC∥BE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證明∠1＝∠2，則可根據(jù)“SAS”判斷△ODC≌△OAC，從而得到∠ODC＝∠OAC＝90°，然后根據(jù)切線的判定定理得CF是⊙O的切線；

（2）利用∠F＝30°得到∠FOD＝60°，則∠1＝∠2＝60°，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得OC＝BE＝8，接著在Rt△AOC中計算出OA＝4，AC＝4，然后利用扇形面積公式，利用圖中陰影部分的面積＝S四邊形AODC﹣S扇形AOD進行計算．

（1）證明：連接OD，如圖，

∵四邊形EBOC是平行四邊形，

∴OC∥BE，

∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，

∵OB＝OD，

∴∠3＝∠4，

∴∠1＝∠2，

在△ODC和△OAC中

,

∴△ODC≌△OAC，

∴∠ODC＝∠OAC＝90°，

∴OD⊥CD，

∴CF是⊙O的切線；

（2）解：∵∠F＝30°，

∴∠FOD＝60°，

∴∠1＝∠2＝60°，

∵四邊形EBOC是平行四邊形，

∴OC＝BE＝8，

在Rt△AOC中，OA＝OC＝4，AC＝OA＝4,

∴圖中陰影部分的面積＝S四邊形AODC﹣S扇形AOD

＝2××4×4﹣

＝16﹣π．