【題目】(1)如圖①,在四邊形ABCD中,AB∥CD,點E是BC的中點,若AE是∠BAD的平分線,試判斷AB,AD,DC之間的等量關系.
解決此問題可以用如下方法:延長AE交DC的延長線于點F,易證△AEB≌△FEC得到AB=FC,從而把AB,AD,DC轉化在一個三角形中即可判斷.AB,AD,DC之間的等量關系______.
(2)同題探究.
①如圖②,AD是△ABC的中線,AB=6,AC=4,求AD的范圍:
②如圖③,在四邊形ABCD中,AB∥CD,AF與DC的延長線交于點F,點E是BC的中點,若AE是∠BAF的平分線,試探究AB,AF,CF之間的等量關系,并證明你的結論.
【答案】(1)AD=AB+DC;(2)①1<AD<5;②AB=AF+CF,證明見解析.
【解析】
(1)利用平行線的性質及角平分線的定義,易證∠BAE=∠F,∠BAE=∠DAF,從而可以推出∠F=∠DAF,再利用等角對等邊,可證AD=DF,利用線段中點的定義,可知BE=CE,然后利用AAS證明△ABE≌△FCE,利用全等三角形的對應邊相等,可證得AB=CF,再根據DF=DC+CF,可得AB,AD,DC之間的數量關系;
(2)①延長AD至E,使DE=AD,連結BE,利用SAS證得△ADC≌△EDB,根據全等三角形的性質,可得AC=BE,由此將AD,AB,AC轉化到一個三角形中,然后利用三角形的三邊關系定理,即可求出AD的取值范圍;②延長AE交DF的延長線于點G,根據已知易得CE=BE,∠BAE=∠G,再利用 AAS證明△AEB≌△GEC,利用全等三角形的對應邊相等可證得AB=GC,然后利用角平分線的定義推出∠FAG=∠G,從而可得到FA=FG,然后根據CG=CF+FG,可證得結論.
解:(1)AD=AB+DC;
理由:延長AE交DC的延長線于點F,
∵AB∥CD,AE平分∠DAB,
∴∠BAE=∠F,∠BAE=∠DAF,
∴∠F=∠DAF,
∴AD=DF,
∵點E是CB的中點,
∴BE=CE,
在△ABE和△FCE中,,
∴△ABE≌△FCE(AAS),
∴AB=CF,
∵AD=DF=DC+CF,
∴AD=AB+DC;
(2)①延長AD至E,使DE=AD,連結BE,
∵AD是△ABC的中線,
∴BD=CD,
在△ADC和△EDB中,,
∴△ADC≌△EDB(SAS),
∴AC=BE,AE=2AD,
在△ABE中,AB-BE<AE<AB+BE,
∴2<2AD<10,
∴1<AD<5;
②AB=AF+CF;
證明:延長AE交DF的延長線于點G,
∴E是BC的中點,
∴CE=BE,
∵AB∥DC,
∴∠BAE=∠G,
在△AEB和△GEC中,,
∴△AEB≌△GEC,
∴AB=GC,
∵AE是∠BAF的平分線,
∴∠BAG=∠FAG,
∵∠BAG=∠G,
∴∠FAG=∠G,
∴FA=FG,
∵CG=CF+FG,
∴AB=AF+CF.
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【題目】已知∠ABC=30°,點D在射線BC上,且到A點的距離等于線段a的長.
(1)用圓規(guī)和直尺在圖中作出點D:(不寫作法,但須保留作圖痕跡,且說明結果
(2)如果AB=8,a=5.求△ABD的面積.
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【題目】已知BC是⊙O的直徑,點D是BC延長線上一點,AB=AD,AE是⊙O的弦,∠AEC=30°.
(1)求證:直線AD是⊙O的切線;
(2)若AE⊥BC,垂足為M,⊙O的半徑為4,求AE的長.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,等腰直角三角形OAA1的直角邊OA在x軸上,點A1在第一象限,且OA=1,以點A1為直角頂點,0A1為一直角邊作等腰直角三角形OA1A2,再以點A2為直角頂點,OA2為直角邊作等腰直角三角形OA2A3…依此規(guī)律,則點A2019的坐標是_____.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系上有個點,點第1次向上跳動1個單位至點,緊接著第2次向右跳動2個單位至點,第3次向上跳動1個單位,第4次向左跳動3個單位,第5次又向上跳動1個單位,第6次向右跳動4個單位,…,依次規(guī)律跳動下去,點第2019次跳動至點的坐標是( )
A.B.
C.D.
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【題目】“龜、蟹賽跑趣事”:某天,烏龜和螃蟹在同一直線道路上同起點、同方向、同時出發(fā),分別以不同的速度勻速跑500米。當螃蟹領先烏龜300米時,螃蟹停下來休息并睡著了,當烏龜追上螃蟹的瞬間,螃蟹驚醒了(驚醒時間忽略不計)并立即以原來的速度繼續(xù)跑向終點,并贏得了比賽。在比賽的整個過程中,烏龜和螃蟹的距離(米)與烏龜出發(fā)的時間(分鐘)之間的關系如圖所示,則螃蟹到達終點時,烏龜距終點的距離是______________米。
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【題目】(本題10分)在長方形ABCD中,AB=5cm,BC=6cm,點P從點A開始沿邊AB向終點B以1cm/s的速度移動,與此同時,點Q從點C開始沿邊CB向終點B以2cm/s的速度移動,如果P、Q分別從A、C同時出發(fā),當點Q運動到點B時,兩點停止運動.設運動時間為t秒.
(1)填空:BQ=______________cm,PB=_______________cm(用含t的代數式表示);
(2)當t為何值時,PQ的長度等于cm?
(3)是否存在t的值,使得五邊形APQCD的面積等于27?若存在,請求出此時t的值;若不存在,請說明理由
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