Question

13．如圖，在平面直角坐標系中，直線AB交兩坐標軸于A、B兩點，OA＞OB，且OA、OB的長分別是一元二次方程x²-7x+12=0的兩根．

（1）求cos∠ABO的值；
（2）以線段AB的長為邊作正方形ABCD（如圖所示），對角線AC、BD交于點E，∠CBD的平分線BF交AC于F，求CF的長；
（3）若點M是y軸上任一點，點N是坐標平面內一點，若以A、B、M、N為頂點的四邊形是菱形，請直接寫出N點的坐標．

Answer 1

分析 （1）解一元二次方程求出OA、OB的長，根據勾股定理求出AB的長，根據余弦的定義解答即可；
（2）過F作FH⊥BC于H，根據角平分線的性質和正方形的性質得到EF=HF=CH，設CF=x，利用勾股定理列出關于x的方程，解方程求出x即可；
（3）分四邊形ANMB為菱形，四邊形AMNB為菱形，四邊形AMBN為菱形，四邊形ABNM為菱形四種情況，根據菱形的性質解答即可．

解答 解：（1）解一元二次方程x²-7x+12=0得，
x₁=3，x₂=4，
∵OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
由勾股定理得，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5，
∴cos∠ABO=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{3}{5}$；
（2）如圖2，過F作FH⊥BC于H，
∵BF是∠CBD的平分線，
∴EF=HF，
又∵四邊形ABCD為正方形，
∴EF=HF=CH，又∵AB=5，
∴CE=5sin45°=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
設CF=x，則EF=HF=CH=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$-x，
由勾股定理得，CF²=FH²+HC²，即x²=2（$\frac{5\sqrt{2}}{2}$-x）²，
解得，x₁=5$\sqrt{2}$-5，x₂=5$\sqrt{2}$+5（舍去），
答：CF的長為5$\sqrt{2}$-5；
（3）如圖3，四邊形ANMB為菱形，
點N的坐標為（-3，0），
如圖4，四邊形AMNB為菱形，
則BN=AB=5，
點N的坐標為（3，-5），
如圖5，四邊形AMBN為菱形，
設AM=x，則BM=x，OM=4-x，
由勾股定理得，BM²=OM²+OB²，即x²=（4-x）²+3²，
解得，x=$\frac{25}{8}$，
點N的坐標為（3，$\frac{25}{8}$），
如圖6，四邊形ABNM為菱形，
BN=AB=5，
點N的坐標為（3，5），
以A、B、M、N為頂點的四邊形是菱形，N點的坐標為（3，5）或（3，-5）或（-3，0）或（3，$\frac{25}{8}$）．

點評 本題考查的是正方形的性質、菱形的判定和性質、角平分線的性質以及銳角三角函數的定義，正確運用定理和性質、靈活運用數形結合思想是解題的關鍵．