Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖像記為，函數(shù)的圖像記為，其中為常數(shù)，且，圖像、，合起來(lái)得到的圖像標(biāo)記為.

（1）求圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

（2）當(dāng)圖像的最低點(diǎn)到軸距離為3時(shí)，求的值.

（3）當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)在圖像上，求的值.

（4）點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，連接與圖像有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（）；（2）；（3）或；（4），，．

【解析】

（1）令M1的函數(shù)值等于0，即求出x的兩個(gè)解，取正數(shù)解．

（2）因?yàn)樘岬?/span>“最低點(diǎn)”，所以函數(shù)圖象M1對(duì)應(yīng)的拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，a＞0，令頂點(diǎn)縱坐標(biāo)=3即求出a的值．

（3）把點(diǎn)在圖象M1或圖象M2進(jìn)行分類(lèi)討論，把a=1和y=-代入解析式即求出m的值．

（4）把a＞0和a＜0時(shí)圖象M的大致草圖畫(huà)出，根據(jù)圖象觀察和計(jì)算說(shuō)明線(xiàn)段PQ所在位置對(duì)交點(diǎn)個(gè)數(shù)的影響，得到a的范圍．

（1）當(dāng)ax2-2ax-4a=0時(shí)，

∵a≠0，

∴x2-2x-4=0

解得：x1=1+，x2=1-

∵x≥0，

∴圖象M1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1+，0）

（2）∵y=ax2-2ax-4a=a（x-1）2-5a，且圖象M1的最低點(diǎn)到x軸距離為3

∴a＞0，

∴|-5a|=3，即-5a=-3

∴a=

（3）當(dāng)a=1時(shí)，點(diǎn)（m，）在圖象M上，

①若點(diǎn)在圖象M1上，即m≥0，m22m4＝

解得：m1=1+，m2=1-（舍去）

②若點(diǎn)在圖象M2上，即m＜0，m22m+4＝

解得：m3=-1+（舍去），m4=-1-

綜上所述，m的值為1+或-1-

（4）若a＞0，則圖象M的大致形狀如圖1，

①若線(xiàn)段PQ經(jīng)過(guò)圖象M1的頂點(diǎn)（1，-5a）

則-5a=-1，得a=

對(duì)于圖象M2，-x2-x+=-1時(shí)，解得：x1=-1+（舍去），x2=-1-

∵-1-＞-5

∴直線(xiàn)PQ與圖象M2的交點(diǎn)在點(diǎn)P的右側(cè)

∴線(xiàn)段PQ與圖象M2有一個(gè)交點(diǎn)

∴a=時(shí)，線(xiàn)段PQ與圖象M有兩個(gè)交點(diǎn)

②若線(xiàn)段PQ比圖象M1與y軸交點(diǎn)高時(shí)，如圖2，

則-4a＜-1，解得：a＞

若a＜0，則圖象M的大致形狀如圖3，

③若線(xiàn)段PQ經(jīng)過(guò)M2與y軸交點(diǎn)時(shí)，4a=-1 得a=，

對(duì)于圖象M1，-x2+x+1=-1時(shí)，解得：x1=-2（舍去），x2=4，

即此時(shí)線(xiàn)段PQ與圖象M1交點(diǎn)為Q（4，-1），

∴當(dāng)線(xiàn)段PQ比圖象M2與y軸交點(diǎn)低時(shí)，與圖象M2有兩個(gè)交點(diǎn)，與圖象M1沒(méi)有交點(diǎn)，

最低不得低過(guò)圖象M2的頂點(diǎn)（-1，5a），

∴5a＜-1，

解得：a＜，

綜上所述，線(xiàn)段PQ與圖象M有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，a=或a＞或a＜.