Question

15．已知：△ABC中，∠BCA=90°，CD⊥AB于D，若AD=1，AB=3，那么cosB的值是（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{7}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 求出△ACD與△ABC相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出AC，再利用勾股定理列式求出BC，然后根據(jù)銳角的余弦等于鄰邊比斜邊列式即可．

解答 解：∵CD⊥AB，
∴∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠BAC，
又∵∠CAD=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，
即$\frac{AC}{3}$=$\frac{1}{AC}$，
解得AC=$\sqrt{3}$，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{6}$，
所以，cosB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故選D．

點(diǎn)評 本題考查了銳角三角函數(shù)，相似三角線的判定與性質(zhì)，勾股定理，難點(diǎn)在于判斷出相似三角線并求出AC的長，作出圖形更形象直觀．