Question

如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，點E在邊AD上，BE與AC相交于點O，且∠ABE=∠BCA．求證：（1）△BAE∽△BOA；　　
（2）BO•BE=BC•AE．

Answer 1

證明：（1）在梯形ABCD中，
∵AB∥CD，AD=BC，
∴∠EAB=∠CBA…（1分）
∵∠EBA=∠BCA，
∴△EBA∽△ACB…（2分）
∴∠AEB=∠BAC…（1分）
∵∠ABE=∠OBA
∴△BAE∽△BOA…（2分）
（2）∵△BAE∽△BOA，
∴…（1分）
∵∠BAC=∠OAB，
∠EBA=∠BCA
∴△OAB∽△BAC…（2分）
∴…（1分）
∴…（1分）
∴BE•BO=AE•BC…（1分）
分析：（1）利用梯形的性質得到∠EAB=∠CBA，從而證得△EBA∽△ACB，然后利用相似三角形的性質得到∠AEB=∠BAC，從而證明△BAE∽△BOA；
（2）根據(jù)上題證得的△BAE∽△BOA得到，然后再利用∠BAC=∠OAB、∠EBA=∠BCA證得△OAB∽△BAC，從而得到，再根據(jù)得到BE•BO=AE•BC即可．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質及等腰梯形的性質，解題的關鍵是正確的利用相似三角形的性質得到對應角相等，從而得到證明三角形全等的條件．