Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，對于點P（a，b）和點Q（a，b′），給出如下定義：
若b′=，則稱點Q為點P的限變點．例如：點（2，3）的限變點的坐標是（2，3），點（-2，5）的限變點的坐標是（-2，-5）．
（1）①點(，1)的限變點的坐標是 ；
②在點A（-2，-1），B（-1，2）中有一個點是函數y＝圖象上某一個點的限變點，這個點是 ；（填“A”或“B”）
（2）若點P在函數y=-x+3（-2≤x≤k，k＞-2）的圖象上，其限變點Q的縱坐標b′的取值范圍是-5≤b′≤2，求k的取值范圍 ；
（3）若點P在關于x的二次函數y=x2-2tx+t2+t的圖象上，其限變點Q的縱坐標b′的取值范圍是b′≥m或b′＜n，其中m＞n．令s=m-n，求s關于t的函數解析式及s的取值范圍 ．

Answer 1

【答案】（1）①（，1），②B，（2）5≤k≤8，（3）s=t2+1（t≥1），s的取值范圍是s≥2

【解析】

（1）①直接根據限變點的定義直接得出答案；

②點（-1，-2）在反比例函數圖象上，點（-1，-2）的限變點為（-1，2），據此得到答案；

（2）根據題意可知y=-x+3（x≥-2）圖象上的點P的限變點必在函數y=的圖象上，結合圖象即可得到答案；

（3）首先求出y=x2-2tx+t2+t頂點坐標，結合t與1的關系確定y的最值，進而用m和n表示出s，根據t的取值范圍求出s的取值范圍．

（1）①根據限變點的定義可知點(，1)的限變點的坐標為（，1）；

②（-1，-2）限變點為（-1，2），即這個點是點B．

（2）依題意，y=-x+3（x≥-2）圖象上的點P的限變點必在函數y=的圖象上．

∴b′≤2，即當x=1時，b′取最大值2．

當b′=-2時，-2=-x+3．

∴x=5．

當b′=-5時，-5=x-3或-5=-x+3．

∴x=-2或x=8．

∵-5≤b′≤2，

由圖象可知，k的取值范圍是5≤k≤8．

（3）∵y=x2-2tx+t2+t=（x-t）2+t，

∴頂點坐標為（t，t）．

若t＜1，b′的取值范圍是b′≥m或b′＜n，與題意不符．

若t≥1，當x≥1時，y的最小值為t，即m=t；

當x＜1時，y的值小于-[（1-t）2+t]，即n=-[（1-t）2+t]．

∴s=m-n=t+（1-t）2+t=t2+1．

∴s關于t的函數解析式為s=t2+1（t≥1），

當t=1時，s取最小值2，

∴s的取值范圍是s≥2．