Question

【題目】已知點 C為線段 AB上一點，分別以 AC、BC為邊在線段 AB同側作△ACD和△BCE，且 CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，直線 AE與 BD交于點 F

(1)如圖 1，若∠ACD＝60°，則∠AFD＝

(2)如圖 2，若∠ACD＝α，連接 CF，則∠AFC＝ （用含α的式子表示）

(3) 將圖 1 中的△ACD繞點 C順時針旋轉如圖 3，連接 AE、AB、BD，∠ABD＝80°，求∠EAB的度數(shù)

Answer 1

【答案】（1）60°．（2）90°α；（3）∠EAB＝140°．

【解析】

（1）求出∠ACE＝∠DCB，證△ACE≌△DCB，推出∠CAE＝∠CDB，求出∠AFB＝∠CDA＋∠DAC，根據(jù)三角形內角和定理求出即可；

（2）求出∠ACE＝∠DCB，證△ACE≌△DCB，推出∠CAE＝∠CDB，求出∠AFB＝∠CDA＋∠DAC，根據(jù)三角形內角和定理求出∠AFB，然后根據(jù)圓周角定理和等腰三角形的性質即可得到結論；

（3）由△ACD是等邊三角形，得到∠ACD＝60°，得到∠CAB＋∠CDB＝360°60°80°＝220°，根據(jù)全等三角形的性質得到∠CAE＝∠CDB，即可得到結論．

解：（1）∵∠ACD＝∠BCE，

∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，

∴∠ACE＝∠DCB，

在△ACE和△DCB中，

，

∴△ACE≌△DCB，

∴∠CAE＝∠CDB，

∴∠AFB＝∠CDB＋∠CDA＋∠DAE

＝∠CDA＋∠DAE＋∠BAE

＝∠CDA＋∠DAC

＝180°60°

＝120°，

∴∠AFD＝60°

故答案為：60°．

（2）解：∵∠ACD＝∠BCE，

∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，

∴∠ACE＝∠DCB，

在△ACE和△DCB中，

，

∴△ACE≌△DCB，

∴∠CAE＝∠CDB，

∴∠AFB＝∠CDB＋∠CDA＋∠DAE

＝∠CDA＋∠DAE＋∠BAE

＝∠CDA＋∠DAC

＝180°∠ACD

＝180°α，

∵∠CAE＝∠CDB，

∴A，C，F，D四點共圓，

∴∠ADC＝∠AFC，

同理∠CFB＝∠BEC，

∵AC＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，

∴∠ADC＝∠BEC，

∴∠AFC＝∠AFB＝90°α；

故答案為：90°α；

（3）∵△ACD是等邊三角形，

∴∠ACD＝60°，

∵∠ABD＝80°，

∴∠CAB＋∠CDB＝360°60°80°＝220°，

∵∠ACD＝∠BCE，

∴∠ACE＝∠BCD，

在△ACE與△BCD中，

，

∴△ACE≌△DCB，

∴∠CAE＝∠CDB，

∴∠CAE＋∠CAB＝220°，

∴∠EAB＝140°．