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3.如圖,以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)y=ax2+2ax-3a(a>0)分別交x軸,y軸負(fù)半軸于點(diǎn)A,C,BD⊥y軸交y軸于點(diǎn)D(0,-4),點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng).
(1)求拋物線(xiàn)的解析式;
(2)在直線(xiàn)AC的下方是否存在點(diǎn)P,使得△ACP面積最大?若存在,求出P點(diǎn)坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)過(guò)P作直線(xiàn)PE⊥直線(xiàn)BD,交BD于點(diǎn)E,將△BPE沿BP折疊到△BPF,使點(diǎn)F恰好落在x軸上?若存在,求P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 (1)由題意可知點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為-4,然后將拋物線(xiàn)的解析式可變形為y=a(x+1)2-4a,故此可求得a的值,然后可求得拋物線(xiàn)的解析式;
(2)先求得點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo),然后再求得直線(xiàn)AC的解析式,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,x2+2x-3),過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸交AC與點(diǎn)H,則H(x,-x-3).然后用含x的式子表示出PH的長(zhǎng),最后依據(jù)三角形的面積公式得到S△PAC與x的函數(shù)關(guān)系,最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可;
(3)過(guò)點(diǎn)B作BG⊥x軸與G點(diǎn),直線(xiàn)PE交x軸于點(diǎn)Q,由翻折的性質(zhì)得到PF=PE,BF=BE,∠PFB=∠PEB=90°,設(shè)P(t,t2+2t-3),則E(t,-4),Q(t,0),則∴PF=PE=t2+2t+1,BF=BE=|t+1|.接下來(lái),證明△PQF∽△FGB.,依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程,最后依據(jù)方程是否有解即可作出判斷.

解答 解:(1)∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,-4),BD⊥y軸,
∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為-4.
由y=ax2+2ax-3a=a(x2+2x-3)=a(x2+2x+1-4)=a(x+1)2-4a,
∴-4a=-4,解得a=1,
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=x2+2x-3.
(2)令y=0得:x2+2x-3=0,解得:x=-3或x=1,
∴點(diǎn)A(-3,0).
令x=0得y=-3,
∴C(0,-3).
設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=kx+b,將點(diǎn)A和點(diǎn)C的解析式代入得:{3k+b=0b=3,
解得:k=-1,b=-3.
∴直線(xiàn)AC的解析式為y=-x-3.
如圖所示:

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,x2+2x-3),過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸交AC與點(diǎn)H,
則H(x,-x-3).則PH=(-x-3)-(x2+2x-3)=-x2-3x.
∴S△PAC=12×3×(-x2-3x)=-32(x+322+278
∵點(diǎn)P在直線(xiàn)AC的下方,
∴-3<t<0,
∴x=-32時(shí),△ACP的面積最大.
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-32,-154).
(3)不存在.

理由如下:如圖,過(guò)點(diǎn)B作BG⊥x軸與G點(diǎn),直線(xiàn)PE交x軸于點(diǎn)Q,△BPF由△BPE沿BP折疊而成.
∴PF=PE,BF=BE,∠PFB=∠PEB=90°.
設(shè)P(t,t2+2t-3),則E(t,-4),Q(t,0).
∴PF=PE=t2+2t+1,BF=BE=|t+1|.
∵∠GBF+∠GFB=90°,∠PFQ+∠BFG=90°,
∴∠PFQ=∠GBF.
又∠PFB=∠PEB=90°.
∴△PQF∽△FGB.
PFFB=QFGB
在Rt△PQF中,QF=t2+2t+12t2+2t32=22t2+2t1
t2+2t+1|t+1|=22t2+2t124,整理得:t2+2t+3=0,
∵△<0,
∴方程無(wú)解.
∴不存在這樣的點(diǎn)P.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定,一元二次方程根的判別式,證得△PQF∽△FGB,然后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出關(guān)于t的方程是解題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)已知一列數(shù)1,-2,3,-4,5,-6,7,-8,9,-10,則a3=3,sun(a1:a10)=-5.
(2)已知一列有規(guī)律的數(shù):(-1)1×1,(-1)2×2,(-1)3×3,(-1)4×4,…,按照規(guī)律,這列數(shù)可以無(wú)限的寫(xiě)下去.
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