Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)A（﹣，0）的兩條直線分別交y軸于B、C兩點(diǎn)，且B、C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的兩個(gè)根.

（1）求線段BC的長(zhǎng)度；

（2）試問(wèn)：直線AC與直線AB是否垂直？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若點(diǎn)D在直線AC上，且DB=DC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)。

Answer 1

【答案】（1）線段BC的長(zhǎng)度為4；

（2）AC⊥AB，理由見(jiàn)解析；

（3）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣2，1）

【解析】解（1）∵x2﹣2x﹣3=0，

∴x=3或x=﹣1，

∴B（0，3），C（0，﹣1），

∴BC=4，

（2）∵A（﹣，0），B（0，3），C（0，﹣1），

∴OA=，OB=3，OC=1，

∴OA2=OBOC，

∵∠AOC=∠BOA=90°，

∴△AOC∽△BOA，

∴∠CAO=∠ABO，

∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠BAC=90°，

∴AC⊥AB；

（3）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，

把A（﹣，0）和C（0，﹣1）代入y=kx+b，

∴，

解得：，

∴直線AC的解析式為：y=﹣x﹣1，

∵DB=DC，

∴點(diǎn)D在線段BC的垂直平分線上，

∴D的縱坐標(biāo)為1，

∴把y=1代入y=﹣x﹣1，

∴x=﹣2，

∴D的坐標(biāo)為（﹣2，1），