Question

【題目】如圖，線段AB ， AD交于點(diǎn)A ． C為直線AD上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A ， D重合）．過(guò)點(diǎn)C在BC的右側(cè)作射線CE⊥BC ， 過(guò)點(diǎn)D作直線DF∥AB ， 交CE于點(diǎn)G（G與D不重合）．

（1）如圖1，若點(diǎn)C在線段AD上，且∠BCA為鈍角．①按要求補(bǔ)全圖形；②判斷∠B與∠CGD的數(shù)量關(guān)系，并證明．
（2）若點(diǎn)C在線段DA的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)直接寫出∠B與∠CGD的數(shù)量關(guān)系；
（3）請(qǐng)你結(jié)合本題的題意提出一個(gè)新的拓展問(wèn)題 ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①補(bǔ)全圖形如圖

②判斷：∠CGD-∠B=90°．

證明 ：過(guò)點(diǎn)C作CH∥AB，

∴ ∠1=∠B（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．

∵ AB∥DF（已知），

∴ CH∥DF（平行于同一直線的兩直線平行）．

∴ ∠2+∠HCG=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)） ．

∵ CE⊥BC（已知），

∴ ∠1+∠HCG=90°（垂直的定義）．

∴ ∠CGD-∠B=90°

（2）∠CGD+∠B=90°
（3）若點(diǎn)C在線段AD的延長(zhǎng)線上，∠B與∠CGD的數(shù)量關(guān)系是否會(huì)發(fā)生變化？
若點(diǎn)C在線段AD的延長(zhǎng)線上，∠B與∠CGD的數(shù)量關(guān)系是否會(huì)發(fā)生變化？
若點(diǎn)C在線段AD上，且∠BCA為銳角時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？
【解析】(1)①補(bǔ)全圖形見(jiàn)解析；②先作輔助線，由∠2+∠HCG=180°和∠1+∠HCG=90°，推出結(jié)論∠CGD-∠B=90°即可；
(2)由（1）中②的結(jié)論可推導(dǎo)出結(jié)論∠CGD+∠B=90°. 附加題見(jiàn)解析.
(3)1.若點(diǎn)C在線段AD的延長(zhǎng)線上，∠B與∠CGD的數(shù)量關(guān)系是否會(huì)發(fā)生變化？
2．若點(diǎn)C在線段AD上，且∠BCA為銳角時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了垂線的性質(zhì)和平行線的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握垂線的性質(zhì)：1、過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與己知直線垂直．2、垂線段最短；由角的相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的條件，得到兩條直線平行（位置關(guān)系）這是平行線的判定；由平行線（位置關(guān)系）得到有關(guān)角相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的結(jié)論是平行線的性質(zhì)才能正確解答此題．