Question

【題目】如圖，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4，0）和（0，3），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)長(zhǎng)度單位的速度沿AO向O運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)P出發(fā)的同時(shí)，動(dòng)直線EF從x軸出發(fā)，以每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位沿y軸方向向上平移，分別與y軸、線段AB交于EP、FP．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts（0＜t≤2）．

（1）在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使得△EOP與△AOB相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合題意的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（2）若△PEF是等腰三角形，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）存在，理由見解析，t的值為s或s；（2）t的值為s或（16﹣4）s

【解析】

（1）分∠EPO＝∠BAO和∠EPO＝∠ABO兩種情況，由相似三角形的性質(zhì)得出比例式，即可得出答案；

（2）分PE＝PF, EP＝EF, FE＝FP三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行解答即可．

解：（1）存在，理由如下：

∵A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4，0）和（0，3），

∴OA＝4，OB＝3，

當(dāng)∠EPO＝∠BAO時(shí)，△EOP∽△BOA，

即

解得：t＝ ；

當(dāng)∠EPO＝∠ABO時(shí)，△EOP∽△AOB，

即

解得：t＝ ；

綜上所述，存在某一時(shí)刻t，使得△EOP與△AOB相似，t的值為s或s；

（2）分三種情況：

①當(dāng)PE＝PF時(shí)，如圖1所示：作PG⊥EF于G，如圖1所示：

則EG＝OP，

∴EF＝2EG＝2OP，

∵EF∥OA，

∴△BEF∽△BOA，

即

解得：EF＝（3﹣t），

∴（3﹣t）＝2（4﹣2t）

解得：t＝ ；

②當(dāng)EP＝EF時(shí)，由勾股定理得

t2+（4﹣2t）2＝[（3﹣t）]2，

整理得：29t2+24t＝0，

解得：t＝0（不合題意舍去）或t＝ （不合題意舍去）；

③當(dāng)FE＝FP時(shí)，作FG⊥OA于G，如圖3所示：

則OG＝EF＝（3﹣t），PG＝OG﹣OP＝（3﹣t）﹣（4﹣2t），

∵FE2＝FP2，

∴[(3﹣t）]2＝t2+[（3﹣t）﹣（4﹣2t）]2，

解得：t＝16+4 （不合題意舍去）或t＝16﹣4 ；

綜上所述，若△PEF是等腰三角形，t的值為s或（16﹣4）s．