Question

9．等腰△ABC中，AB=AC，△ABD、△ACE都是等邊三角形，直線BD、CE交于點O，直線AO、BC交于點F．

（1）如圖1，當(dāng)點D在AB左側(cè)，點E在AC右側(cè)時，∠AFC=90°（不用證明）
（2）如圖2，當(dāng)點D在AB右側(cè)，點E在AC左側(cè)時，求證：∠AFC=90°
（3）如圖3，當(dāng)點D在AB左側(cè)，點E在AC左側(cè)時，求∠AFC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由圖形即可得出結(jié)論；
（2）通過不斷的尋找全等三角形來尋找∠BAF=∠CAF這個條件，通過三次全等三角形的證明可得出此結(jié)論；
（3）同（2）的道理，通過三次全等三角形的證明，得出∠EAO=∠BAO，從而由邊角關(guān)系求出∠AFC的度數(shù)．

解答 解：（1）根據(jù)已知條件可證得△ABF≌△ACF，可得知∠AFB=∠AFC，
∴∠AFC=90°．
故答案為：90°
（2）證明：連接BD，CE，如圖1．

∵等腰△ABC中，AB=AC，△ABD、△ACE都是等邊三角形，
∴AE=AC=AD=AB，∠EAC=∠DAB=60°，
∴∠EAB=∠DAC，
在△EAB和△DAC中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠EAB=∠DAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴∠ABE=∠ACD，BE=CD，
∵△ABC為等腰三角形，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=∠ACD+∠ACB=∠DCB，
在△BCE和△CBD中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=CD}\\{∠EBC=∠DCB}\\{BC=CB}\end{array}\right.$，
∴△EBC≌△DCB（SAS），
∴∠ECB=∠DBC，
∴OB=OC，
在△ABO和△ACO，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AO=AO}\\{BO=CO}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△ACO（SSS），
∴∠BAF=∠CAF，
∴AF⊥BC．
證畢．
（3）令A(yù)E與BD的交點為M，AB與CE的交點為N，如圖2，

∵∠CAN=60°-∠MAN=∠DAM，
∴在△ADM和△ACN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAN=∠DAM}\\{AD=AB=AC}\\{∠ADM=∠ACN=60°}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△ACN（ASA），
∴AM=AN，
又∵AE=AC=AB，
∴ME=NB，
在△EOM和△BON中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MEO=∠NBO=60°}\\{∠MOE=∠NOB}\\{ME=NB}\end{array}\right.$，
∴△EOM≌△BON（AAS），
∴OM=ON，
在△AMO和△ANO中，$\left\{\begin{array}{l}{AM=AN}\\{AO=AO}\\{OM=ON}\end{array}\right.$，
∴△AMO≌△ANO，
∴∠MAO=∠NAO，
∴∠BAC=60°-∠MAN=60°-2∠NAO，
∵AB=AC，
∴∠ACB=（180°-∠BAC）÷2=（180°-60°+2∠NAO）÷2=60°+∠NAO，
又∵∠ABC=∠AFB+∠NAO=∠ACB，
∴∠AFB=60°

點評 本題考查的全等三角形的證明，（2）解題的關(guān)鍵是通過證三角形全等得出∠BAF=∠CAF，從而得出結(jié)論；（3）解題的關(guān)鍵是通過證三角形全等得出∠MAO=∠NAO，再利用三角形內(nèi)角和為180°和三角形外角等于不相鄰的兩內(nèi)角和得出結(jié)論．