Question

【題目】如圖（1），拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點(diǎn)（x1<0<x2），與y軸交于點(diǎn)C(0，-3)，若拋物線的對稱軸為直線x=1，且tan∠OAC=3.

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（2 若點(diǎn)D是拋物線BC段上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)D到直線BC距離為，求點(diǎn)D的坐標(biāo)

（3）如圖（2），若直線y=mx+n經(jīng)過點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)E(0， －)，點(diǎn)P是直線AE下方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AE于點(diǎn)M，點(diǎn)N在線段AM延長線上，且PM=PN，是否存在點(diǎn)P，使△PMN的周長有最大值？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PMN的周長的最大值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）D1（1，－4），D2（2，－3）；（3）存在， ,△PMN的周長的最大值是

【解析】試題分析:(1)根據(jù)題意求出A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)解析式為交點(diǎn)式，代入點(diǎn)C即可求出；（2）設(shè)D（x，x-2x-3），根據(jù)三角形BCD的面積即可求出D點(diǎn)坐標(biāo)；（3）求出直線AE的表達(dá)式，設(shè)P(t,t-2t-3)，用含t的式子表示出PM=PN的長度，利用∽△AEO表示出MN的長度，從而三角形的周長就可以用含t的二次函數(shù)來表示，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出P的坐標(biāo)和△PMN的周長的最大值.

試題解析:

(1)在Rt△AOC中，tan∠OAC==3，且OC=3，∴OA=1，A(-1，0).

∵拋物線的對稱軸為直線x=1，

∴由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求; ,解得x=3.

∴B（3,0）.

∴可設(shè)拋物線的表達(dá)式為:y=a(x-3)(x+1)

將C(0,-3)代入上式中，

∴拋物線表達(dá)式為：y=(x-3)(x+1)=x-2x-3.

（3）∵B(3,0)、C（0，-3），

∴BC=

∴

設(shè)D（x，x-2x-3），連接OD,

∴

=

=

=.

解得x=1, x=2.

∴D(1,-4),(2,-3).

(3)由A(-1，0)、E（0， ）可求：

直線AE的表達(dá)式為： .

設(shè)P(t,t-2t-3),則

∴.

作PG⊥MN于G,由PM=PN得:MG=NG=MN,

由∽△AEO 有: ,即

∴MG=PM=NG

∴

∴當(dāng),有最大值為,此時(shí) .

點(diǎn)睛:此題以二次函數(shù)為背景,綜合考查相似三角形的判定與性質(zhì),三角形的周長,二次函數(shù)的最值,方程思想,函數(shù)思想,轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)思想方法,綜合性較強(qiáng).本題通過與△AEO之間的相似關(guān)系,運(yùn)用相似三角形的性質(zhì),用函數(shù)關(guān)系式表示出△PMN的周長是解答此題的關(guān)鍵.