如圖,已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2AD,點(diǎn)E、F分別是AB、BC邊的中點(diǎn),連接AF、CE交于點(diǎn)M,連接BM并延長交CD于點(diǎn)N,連接DE交AF于點(diǎn)P,則結(jié)論:①∠ABN=∠CBN;②DE∥BN;③△CDE是等腰三角形;④EM:BE=:3;⑤S△EPM=S梯形ABCD,正確的個(gè)數(shù)有( )

A.5個(gè)
B.4個(gè)
C.3個(gè)
D.2個(gè)
【答案】分析:連接DF,AC,EF,如圖所示,由E、F分別為AB、BC的中點(diǎn),且AB=BC,得到EB=FB,再由一對(duì)公共角相等,利用SAS可得出△ABF與△CBE全等,由確定三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到一對(duì)角相等,再由AE=FC,對(duì)頂角相等,利用AAS可得出△AME與△CMF全等,由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得出ME=MF,再由BE=BF,BM=BM,利用SSS得到△BEM與△BFM全等,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得出∠ABN=∠CBN,選項(xiàng)①正確;由AD=AE,梯形為直角梯形,得到∠EAD為直角,可得出△AED為等腰直角三角形,可得出∠AED為45°,由∠ABC為直角,且∠ABN=∠CBN,可得出∠ABN為45°,根據(jù)同位角相等可得出DE平行于BN,選項(xiàng)②正確;由AD=AE=AB=BC,且CF=BC,得到AD=FC,又AD與FC平行,根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到ADCF為平行四邊形,可得出AF=DC,又AF=CE,等量代換可得出DC=EC,即△DCE為等腰三角形,選項(xiàng)③正確;由EF為△ABC的中位線,利用三角形中位線定理得到EF平行于AC,由兩直線平行得到兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等,根據(jù)兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出△EFM與△ACM相似,且相似比為1:2,可得出EM:MC=1:2,設(shè)EM=x,則有MC=2x,用EM+MC表示出EC,設(shè)EB=y,根據(jù)BC=2EB,表示出BC,在直角三角形BCE中,利用勾股定理表示出EC,兩者相等得到x與y的比值,即為EM與BE的比值,即可判斷選項(xiàng)④正確與否;由E為AB的中點(diǎn),利用等底同高得到△AME的面積與△BME的面積相等,由△BME與△BFM全等,得到面積相等,可得出三個(gè)三角形的面積相等都為△ABF面積的,由E為AB的中點(diǎn),且EP平行于BM,得到P為AM的中點(diǎn),可得出△AEP的面積等于△PEM的面積,得到△PEM的面積為△ABF面積的,由ABFD為矩形得到△ABF與△ADF全等,面積相等,由△ADF與△CFD全等得到面積相等,可得出三個(gè)三角形面積相等都為梯形面積的,綜上得到△PEM的面積為梯形面積的,可得出選項(xiàng)⑤錯(cuò)誤,綜上,得到正確的個(gè)數(shù).
解答:解:連接DF,AC,EF,如圖所示:
∵E、F分別為AB、BC的中點(diǎn),且AB=BC,
∴AE=EB=BF=FC,
在△ABF和△CBE中,
,
∴△ABF≌△CBE(SAS),
∴∠BAF=∠BCE,AF=CE,
在△AME和△CMF中,
,
∴△AME≌△CMF(AAS),
∴EM=FM,
在△BEM和△BFM中,

∴△BEM≌△BFM(SSS),
∴∠ABN=∠CBN,選項(xiàng)①正確;
∵AE=AD,∠EAD=90°,
∴△AED為等腰直角三角形,
∴∠AED=45°,
∵∠ABC=90°,
∴∠ABN=∠CBN=45°,
∴∠AED=∠ABN=45°,
∴ED∥BN,選項(xiàng)②正確;
∵AB=BC=2AD,且BC=2FC,
∴AD=FC,又AD∥FC,
∴四邊形AFCD為平行四邊形,
∴AF=DC,又AF=CE,
∴DC=EC,
則△CED為等腰三角形,選項(xiàng)③正確;
∵EF為△ABC的中位線,
∴EF∥AC,且EF=AC,
∴∠MEF=∠MCA,∠EFM=∠MAC,
∴△EFM∽△CAM,
∴EM:MC=EF:AC=1:2,
設(shè)EM=x,則有MC=2x,EC=EM+MC=3x,
設(shè)EB=y,則有BC=2y,
在Rt△EBC中,根據(jù)勾股定理得:EC==y,
∴3x=y,即x:y=:3,
∴EM:BE=:3,選項(xiàng)④正確;
∵E為AB的中點(diǎn),EP∥BM,
∴P為AM的中點(diǎn),
∴S△AEP=S△EPM=S△AEM,
又S△AEM=S△BEM,且S△BEM=S△BFM,
∴S△AEM=S△BEM=S△BFM=S△ABF,
∵四邊形ABFD為矩形,
∴S△ABF=S△ADF,又S△ADF=S△DFC
∴S△ABF=S△ADF=S△DFC=S梯形ABCD,
∴S△EPM=S梯形ABCD,選項(xiàng)⑤錯(cuò)誤.
則正確的個(gè)數(shù)有4個(gè).
故選B
點(diǎn)評(píng):此題考查了直角梯形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,等腰直角三角形的性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),以及三角形的中位線定理,熟練掌握性質(zhì)與定理是解本題的關(guān)鍵.
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精英家教網(wǎng)如圖,已知直角梯形ABCD中,AD∥BC∥EF,∠A=90°,BC=DC=4,AC、BD交于E,且EF=ED.
(1)求證:△DBC為等邊三角形.
(2)若M為AD的中點(diǎn),求過M、E、C的拋物線的解析式.
(3)判定△BCD的外心是否在該拋物線上(說明理由)

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21、當(dāng)我們遇到梯形問題時(shí),我們常用分割的方法,將其轉(zhuǎn)化成我們熟悉的圖形來解決:
(1)按要求對(duì)下列梯形分割(分割線用虛線)
①分割成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形;  ②分割成一個(gè)長方形和兩個(gè)直角三角形;

(2)如圖,已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=4cm,BC=8cm,∠C=45°,請(qǐng)你用適當(dāng)?shù)姆椒▽?duì)梯形分割,利用分割后的圖形求AD的長.

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如圖,已知直角梯形的一條對(duì)角線把梯形分為一個(gè)直角三角形和一個(gè)邊長為8cm的等邊三角形,則梯形的中位線長為 ( 。

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如圖,已知直角梯形ABCD中,AD∥BC(AD<BC),∠B=90°,AB=AD+BC.點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),點(diǎn)F是AB上的點(diǎn),∠ADF=45°,F(xiàn)E=a,梯形ABCD的面積為m.
(1)求證:BF=BC;
(2)求△DEF的面積(用含a、m的代數(shù)式表示)

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如圖,已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,∠C=60°,BC=12cm,DC=16cm,動(dòng)點(diǎn)P沿A→D→C線路以2cm/秒的速度向C運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q沿B→C線路以1cm/秒的速度向C運(yùn)動(dòng).P、Q兩點(diǎn)分別從A、B同時(shí)出發(fā),當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也隨之停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,△PQB的面積為y cm2
(1)求AD的長及t的取值范圍;
(2)求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)是否存在這樣的t,使得△PQB的面積為
9
3
2

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