Question

6．已知：如圖，正方形ABCD，DE⊥MF，求證：BM+CF=CE．

Answer 1

分析 先過點(diǎn)M作MG⊥DC于G，構(gòu)造矩形BCGM，再根據(jù)矩形和正方形的性質(zhì)，判定△DCE≌△MGF，得出GF=CE，最后根據(jù)GC=MB得出結(jié)論．

解答 證明：過點(diǎn)M作MG⊥DC于G，則∠MGC=90°
∵正方形BACD中，∠B=∠BCG=90°
∴四邊形BCGM是矩形
∴MG=BC=DC，
∵DE⊥MF，
∴∠F+∠FDE=90°，
又∵Rt△DCE中，∠DEC+∠FDE=90°，
∴∠F=∠DEC，
在△DCE和△MGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠DEC}\\{∠MGF=∠DCE}\\{MG=DC}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△MGF（AAS），
∴GF=CE，即GC+CF=CE，
又∵矩形BCGM中，GC=MB，
∴BM+CF=CE．

點(diǎn)評 本題主要考查了正方形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是作垂線，構(gòu)造矩形BCGM，利用矩形的性質(zhì)進(jìn)行求解．