Question

如果一個點能與另外兩個點能構成直角三角形，則稱這個點為另外兩個點的勾股點．例如：矩形ABCD中，點C與A，B兩點可構成直角三角形ABC，則稱點C為A，B兩點的勾股點．同樣，點D也是A，B兩點的勾股點．

（1）如圖1，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，請在邊CD上作出A，B兩點的勾股點（點C和點D除外）（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）．

（2）矩形ABCD中，AB=3，BC=1，直接寫出邊CD上A，B兩點的勾股點的個數(shù)．

（3）如圖2，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=4cm，DM=8cm，AN=5cm．動點P從D點出發(fā)沿著DC方向以1 cm／s的速度向右移動，過點P的直線l平行于BC，當點P運動到點M時停止運動．設運動時間為t（s），點H為M，N兩點的勾股點，且點H在直線l上．

①當t=4時，求PH的長．

②探究滿足條件的點H的個數(shù)（直接寫出點H的個數(shù)及相應t的取值范圍，不必證明）．

Answer 1

（1）作圖見解析；（2）4；（3）PH=或PH=2或PH=3．（4）當0≤t＜4或t=5或t=8時，有2個勾股點；當t=4時，有3個勾股點；當4＜t＜5或5＜t＜8時，有4個勾股點．

【解析】

試題分析：（1）以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點，或線段CD的中點就是A，B兩點在CD上的勾股點；

（2）當矩形ABCD中，AB=3，BC=1時，此時以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點有兩個，加上C、D兩點，總共四個點；

（3）①如圖，當t=4時，PM=8-4=4，QN=5-4=1，分三種情況：當∠MHN=90°時，根據(jù)已知條件可以證明△PMH∽△QHN，然后利用相似三角形對應線段成比例即可求出PH；當∠H''NM=90°時，設PH=x，那么H''Q=4-x，根據(jù)勾股定理得到PM2+PH''2=QN2+H''Q2+MN2，而MN==5，依次即可求出PH''；當∠H'MN=90°時，根據(jù)勾股定理得到H'P2+PM2+QH'2+QN2=MN2，而H'Q=PH'+PQ=PH'+4，依次即可求出PH'．

②利用①的結果可以探究滿足條件的點H的個數(shù)及相應t的取值范圍．

試題解析：（1）如圖，以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點，或線段CD的中點E就是所勾股點；

（2）∵矩形ABCD中，AB=3，BC=1時，

∴以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點有兩個，加上C、D兩點，總共四個點4個；

（3）①如圖，當t=4時，PM=8-4=4，QN=5-4=1，

當∠MHN=90°時，

∵∠MPH=∠HQN=90°，

∴△PMH∽△QHN，

∴PH：QN=PM：HQ，

而PH+HQ=BC=4，

∴PH=2；

當∠H''NM=90°時，設PH=x，那么H''Q=4-x

依題意得PM2+PH''2=QN2+H''Q2+MN2，

而MN==5，

∴PH=；

當∠H'MN=90°時，QH'2+QN2-（H'P2+PM2）=MN2，

而H'Q=PH'+PQ=PH'+4，

∴PH=3．

∴PH=或PH=2或PH=3．

②當0≤t＜4時，有2個勾股點；

當t=4時，有3個勾股點；

當4＜t＜5時，有4個勾股點；

當t=5時，有2個勾股點；

當5＜t＜8時，有4個勾股點；

當t=8時，有2個勾股點．

綜上所述，當0≤t＜4或t=5或t=8時，有2個勾股點；當t=4時，有3個勾股點；當4＜t＜5或5＜t＜8時，有4個勾股點．

考點：1.勾股定理；2.相似三角形的判定與性質(zhì)．