Question

【題目】如圖，在等腰△ABC中，AB=BC，以BC為直徑的⊙O與AC相交于點D，過點D作DE⊥AB交CB延長線于點E，垂足為點F.

（1）判斷DE與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若⊙O的半徑R=5，且tanC =，求EF的長.

Answer 1

【答案】（1）相切；（2）

【解析】

（1）連接圓心和切點，利用平行，OF⊥CB可證得∠ODF=90°；

（2）過D作DH⊥BC于H，設BD=k，CD=2k，求得BD=2，CD=4，根據(jù)三角形的面積公式得到DH==4，由勾股定理得到OH==3，根據(jù)三角形相似得到OD2=OHOE，求得OE=，得到BE=，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BF=2，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

（1）證明：如圖，連接OD，BD，

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠CDB=90°，

∴BD⊥AC．

∵AB=BC，

∴AD=DC．

∵OC=OB，

∴OD∥AB，

∵DE⊥AB，

∴DE⊥OD．

∴直線DE是⊙O的切線．

（2）過D作DH⊥BC于H，

∵⊙O的半徑R=5，tanC=，

∴BC=10，

設BD=k，CD=2k，

∴BC=k=10，

∴k=2，

∴BD=2，CD=4，

∴DH==4，

∴OH==3，

∵DE⊥OD，DH⊥OE，

∴OD2=OHOE，

∴OE=，

∴BE=，

∵DE⊥AB，

∴BF∥OD，

∴△BFE∽△ODE，

∴，即，

∴BF=2，

∴EF=．