Question

【題目】已知在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在原△ABC的點(diǎn)C處，此時(shí)點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，延長(zhǎng)線段AD，交原△ABC的邊BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，那么線段DE的長(zhǎng)等于 .

Answer 1

【答案】
【解析】解：過點(diǎn)C作CH⊥AE于H，如圖，

∵AB=AC=8，
∴∠B=∠ACB=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣30°）=75°，
∵△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在原△ABC的點(diǎn)C處，此時(shí)點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，
∴AD=AB=8，∠CAD=∠BAC=30°，
∵∠ACB=∠CAD+∠E，
∴∠E=75°﹣30°=45°，
在Rt△ACH中，∵∠CAH=30°，
∴CH=AC=4，AH=CH=4，
∴DH=AD﹣AH=8﹣4，
在Rt△CEH中，∵∠E=45°，
∴EH=CH=4，
∴DE=EH﹣DH=4﹣（8﹣4）=4﹣4．
故答案為4﹣4．
作CH⊥AE于H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出∠ACB=（180°﹣∠BAC）=75°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AD=AB=8，∠CAD=∠BAC=30°，則利用三角形外角性質(zhì)可計(jì)算出∠E=45°，接著在Rt△ACH中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得CH=AC=4，AH=CH=4，所以DH=AD﹣AH=8﹣4，然后在Rt△CEH中利用∠E=45°得到EH=CH=4，于是可得DE=EH﹣DH=．