【答案】
分析:(1)過C作CF⊥AB于F,推出四邊形ADCF是矩形,得出DC=AF=4,AD=CF=4,求出BF=3,由勾股定理得求出BC=5,求出sinB=

,cosB=

,①當(dāng)P在AB上,Q在BC上時(shí),此時(shí)0<x≤

,過Q作QE⊥AB于E,得出AP=x,BQ=2x,BP=7-x,根據(jù)sinB即可求出QE=

x,代入三角形的面積公式求出即可;②當(dāng)P在AB上,Q在DC上時(shí),此時(shí)

<x≤

,代入三角形的面積公式求出即可;
(2)求出每個(gè)函數(shù)式的最值即可;
(3)分為兩種情況:①當(dāng)P在AB上,Q在BC上時(shí),此時(shí)只能是Q為直角頂點(diǎn),根據(jù)cosB=

=

,代入即可求出x;②當(dāng)P在AB上,Q在CD上時(shí),此時(shí)

≤x≤

,此時(shí)只能P為直角頂點(diǎn),在Rt△BFC中,根據(jù)勾股定理得出5
2=4
2+(12-3x)
2,求出x=3的值即可.
解答:
(1)解:過C作CF⊥AB于F,
∵梯形ABCD中,∠DAB=90°,
∴∠D=∠A=∠CFA=90°,
∴四邊形ADCF是矩形,
∴DC=AF=4,AD=CF=4,
∴BF=7-4=3,
在Rt△CFB中,由勾股定理得:BC=5,
即sinB=

=

,cosB=

=

,
①當(dāng)P在AB上,Q在BC上時(shí),此時(shí)0<x≤

,
過Q作QE⊥AB于E,
∵AP=x,BQ=2x,BP=7-x,
∴sinB=

=

,
∴QE=

x,
由三角形的面積公式得:y=

×BP×QE=

×(7-x)×

=-

x
2+

x;
②當(dāng)P在AB上,Q在DC上時(shí),此時(shí)

<x≤

(4+5=9),
則y=

BP×CF=

×(7-x)×4=-2x+14;
綜合上述:y與x的關(guān)系式是:y=

.
(2)解:∵y=-

x
2+

x=-


+

,
又∵0<x≤

,
∴拋物線的開口向下,對(duì)稱軸是直線x=

,
∴當(dāng)x=

時(shí),y的值最大;
∵y═-2x+14(

≤x≤

),
根據(jù)k=-2<0知:y隨x的增大而減小,即要使y最大,必須x最小,即x取

時(shí)y最大;
綜合上述:當(dāng)x=

時(shí),y的值最大.
(3)解:
分為兩種情況:①當(dāng)P在AB上,Q在BC上時(shí),此時(shí)0<x≤

,P在AF內(nèi),即只能是Q為直角頂點(diǎn),

cosB=

=

,
即

=

,
x=

;
②當(dāng)P在AB上,Q在CD上時(shí),此時(shí)

≤x≤

,

此時(shí)只能P為直角頂點(diǎn),CQ=2x-5=PF,BP=7-x,
則BF=(7-x)-(2x-5)=12-3x,
在Rt△BFC中,由勾股定理得:5
2=4
2+(12-3x)
2,
解得:x=3,x=5(5>

舍去),
綜合上述:存在點(diǎn)P,使得△BPQ為直角三角形,x的值是

或3.
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了梯形的性質(zhì),矩形的性質(zhì)和判定,勾股定理,二次函數(shù)的最值,三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用,主要考查學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力,題目具有一定的代表性,但是難度偏大,注意:一定要進(jìn)行分類討論.