Question

【題目】四邊形ABCD的對(duì)角線AC將其分割成兩個(gè)三角形：

（1）如圖1．若∠BAC=∠DAC，AB＞AD，求證：AB－AD＞CB－CD．

（2）如圖2．若∠ACD+∠BAC=180°，∠B=∠D，求證：BC=AD．

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

(1)在線段AB上取一點(diǎn)E，使得AE=AD，結(jié)合已知條件可以證得△AEC≌△ADC，根據(jù)全等的性質(zhì)得出線段相等，再利用三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之差小于第三邊即可得出結(jié)果；

(2) 過(guò)點(diǎn)A作AE垂直于DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF垂直AB于點(diǎn)F，根據(jù)已知條件可證得△CFA≌△AEC，從而證得△BCF≌△DAE，即可得出結(jié)果．

(1)證明：如圖所示，在線段AB上取一點(diǎn)E，使得AE=AD，

在△AEC和△ADC中

∴△AEC≌△ADC，

∴EC=CD，

∵CB-EC<BE，

∴CB-CD<AB-AE，

∴CB-CD<AB-AD，

∴AB-AD>CB-CD．

(2)證明：如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AE垂直于DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF垂直AB于點(diǎn)F

∵∠ACD+∠BAC=180°，∠ACD+∠ACE=180°，

∴∠BAC=∠ACE，

在△ACE和△ACF中

∴△CFA≌△AEC，

∴CF=AE，

在△BCF和△DAE中

∴△BCF≌△DAE，

∴AD=BC．