Question

（人教版）已知：二次函數(shù)y=x²-（m+1）x+m的圖象交x軸于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點(diǎn)，交y軸正半軸于點(diǎn)C，且x₁²+x₂²=10．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）是否存在過(guò)點(diǎn)D（0，-

5

2

）的直線與拋物線交于點(diǎn)M、N，與x軸交于點(diǎn)E，使得點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱？若存在，求直線MN的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）因?yàn)閤₁²+x₂²=10，
所以（x₁+x₂）²-2x₁x₂=10，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，（m+1）²-2m=10，
所以m=3，m=-3，
又因?yàn)辄c(diǎn)C在y軸的正半軸上，
∴m=3，
∴所求拋物線的解析式為：y=x²-4x+3；

（2）過(guò)點(diǎn)D（0，-

5

2

）的直線與拋物線交于M（X_M，Y_M）、N（X_N，Y_N）兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)E，使得M、N兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱．
設(shè)直線MN的解析式為：y=kx-

5

2

，
則有：Y_M+Y_N=0，（6分）
由

y=x2-4x+3 y=kx- 5 2

，
x²-4x+3=kx-

5

2

，
移項(xiàng)后合并同類(lèi)項(xiàng)得x²-（k+4）x+

11

2

=0，
∴x_M+x_N=4+k．
∴y_M+y_N=kx_M-

5

2

+kx_N-

5

2

=k（x_M+x_N）-5=0，
∴y_M+y_N=k（x_M+x_N）=5，
即k（k+4）-5=0，
∴k=1或k=-5．
當(dāng)k=-5時(shí)，方程x²-（k+4）x+

11

2

=0的判別式△＜0，直線MN與拋物線無(wú)交點(diǎn)，
∴k=1，
∴直線MN的解析式為y=x-

5

2

，
∴此時(shí)直線過(guò)一、三、四象限，與拋物線有交點(diǎn)；
∴存在過(guò)點(diǎn)D（0，-

5

2

）的直線與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)E．使得M、N兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱．