Question

【題目】已知：AB⊥AC，DE⊥AB，AC=BE，BC=BD，

（1）求證：BC⊥BD；

（2）若點F是BC，BD的垂直平分線的交點，連接FA、FE.填空：判斷△AFE的形狀是_____.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）等腰直角三角形

【解析】

（1）利用HL定理證明Rt△ABC≌Rt△EDB，然后得到∠D=∠ABC，從而求證；（2）連接FC，F(xiàn)B,FD，利用垂直平分線的性質

證明：（1）∵AB⊥AC，DE⊥AB

∴∠CAB=∠BED=90°

在Rt△ABC≌Rt△EDB中，

∴Rt△ABC≌Rt△EDB（HL）

∴∠D=∠ABC

又∵∠DBE+∠ABC=90°

∴∠D+∠ABC=90°

∴∠CBD=90°

即BC⊥BD；

（2）連接FC，F(xiàn)B,FD，

∵點F是BC，BD的垂直平分線的交點

∴FC=FB=FD

∴∠CBF=∠FCB

又∵BC=BD，BF=BF

∴△BCF≌△BDF

又∵∠CBD=90°

∴∠DBF=∠CBF=45°

∴∠FCB=∠DBF=∠CBF=45°

∴∠CFB=90°

又∵Rt△ABC≌Rt△EDB

∴∠ACB=∠DBE，AC=BE

∴∠ACF=∠EBF

又∵FC=FB

∴△FAC≌△FEB

∴FA=FE，∠AFC=∠EFB

∵∠CFB=90°

∴∠CFE+∠EFB=90°

∴∠AFC+∠EFB=90°

即∠AFE=90°

即△AFE是等腰直角三角形