Question

（2013•昭通）如圖1，已知A（3，0）、B（4，4）、原點O（0，0）在拋物線y=ax²+bx+c （a≠0）上．
（1）求拋物線的解析式．
（2）將直線OB向下平移m個單位長度后，得到的直線與拋物線只有一個交點D，求m的值及點D的坐標．
（3）如圖2，若點N在拋物線上，且∠NBO=∠ABO，則在（2）的條件下，求出所有滿足△POD∽△NOB的點P的坐標（點P、O、D分別與點N、O、B對應）

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式進而得出答案即可；
（2）首先求出直線OB的解析式為y=x，進而將二次函數(shù)以一次函數(shù)聯(lián)立求出交點即可；
（3）首先求出直線A′B的解析式，進而由△P₁OD∽△NOB，得出△P₁OD∽△N₁OB₁，進而求出點P₁的坐標，再利用翻折變換的性質(zhì)得出另一點的坐標．

解答：解：（1）∵A（3，0）、B（4，4）、O（0，0）在拋物線y=ax²+bx+c （a≠0）上．
∴

9a+3b+c=0 16a+4b+c=4 c=0

，
解得：

a=1 b=-3 c=0

，
故拋物線的解析式為：y=x²-3x；

（2）設直線OB的解析式為y=k₁x（ k₁≠0），
由點B（4，4）得
4=4 k₁，
解得k₁=1．
∴直線OB的解析式為y=x，∠AOB=45°．
∵B（4，4），
∴點B向下平移m個單位長度的點B′的坐標為（4，0），
故m=4．
∴平移m個單位長度的直線為y=x-4．
解方程組 

y=x2-3x y=x-4

   
解得：

x=2 y=-2

，
∴點D的坐標為（2，-2）．

（3）∵直線OB的解析式y(tǒng)=x，且A（3，0）．
∵點A關于直線OB的對稱點A′的坐標為（0，3）．
設直線A′B的解析式為y=k₂x+3，此直線過點B（4，4）．
∴4k₂+3=4，
解得 k₂=

1

4

．
∴直線A′B的解析式為y=

1

4

x+3．
∵∠NBO=∠ABO，∴點N在直線A′B上，
設點N（n，

1

4

n+3），又點N在拋物線y=x²-3x上，
∴

1

4

n+3=n²-3n．
解得  n₁=-

3

4

，n₂=4（不合題意，舍去），
∴點N的坐標為（-

3

4

，

45

16

）．
如圖，將△NOB沿x軸翻折，得到△N₁OB₁，
則 N₁ （-

3

4

，-

45

16

），B₁（4，-4）．
∴O、D、B₁都在直線y=-x上．
過D點做DP₁∥N₁B₁，
∵△P₁OD∽△NOB，
∴△P₁OD∽△N₁OB₁，
∴P₁為O N₁的中點．
∴

OP1

ON

=

OD

OB1

=

1

2

，
∴點P₁的坐標為（-

3

8

，-

45

32

）．
將△P₁OD沿直線y=-x翻折，可得另一個滿足條件的點到x軸距離等于P₁到y(tǒng)軸距離，點到y(tǒng)軸距離等于P₁到x軸距離，
∴此點坐標為：（

45

32

，

3

8

）．
綜上所述，點P的坐標為（-

3

8

，-

45

32

）和（

45

32

，

3

8

）．

點評：此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用翻折變換的性質(zhì)得出對應點關系是解題關鍵．