Question

已知一個面積為S且邊長為1的正六邊形，其六條最短的對角線兩兩相交的交點構成一個面積為A的小正六邊形的頂點，則

A

S

=（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  1

  3

• C、

  2

  2

• D、

  3

  2

Answer 1

考點：正多邊形和圓

專題：

分析：如圖，作輔助線，首先證明△OAB與△OAC均為等邊三角形，設便長為λ；借助有關定理分別用關于λ的代數(shù)式，求出△OMN、△OAB的面積，即可解決問題．

解答：解：如圖，連接OA、OB、OC；OM、ON；
由題意得：∠AOB=∠AOC=

360°

6

=60°，而OA=OB=OC，
∴△OAB與△OAC均為等邊三角形，設邊長為λ；
∵OB=OC，∠AOB=∠AOC，
∴OA⊥BC，OP=AP=0.5λ；
∵OM=ON，且∠MON=60°，
∴MP=NP，∠MOP=30°；
tan30°=

MP

OP

，MP=

3

6

λ，MN=

3

3

λ；
∴S△OMN=

1

2

MN•OP=

3 λ2

12

；
同理可求S△OAB=

3

4

λ2，
∴

A

S

=

6S△OMN

6S△OAB

=

S△OMN

S△OAB

=

1

3

，
故選B．

點評：該題主要考查了正多邊形和圓的性質及其應用問題；解題的關鍵是作輔助線，靈活運用有關定理來分析、判斷、推理或解答．