Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)、分別落在軸、軸正半軸上，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，且，已知，．

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，的面積為，用含的代數(shù)式表示；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作的平分線交軸于點(diǎn)，為何值時(shí)，四邊形為矩形？并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）故當(dāng)t=4時(shí)，四邊形為矩形，此時(shí)M（6，-3）．

【解析】

（1）先確定出點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而得出OA，最后在Rt△OEF中，利用勾股定理求出OE即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）分兩種情況，用三角形的面積公式即可解決問題；

（3）先利用對(duì)稱求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而得出OD，由角平分線的性質(zhì)定理得出DP=OD求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用勾股定理求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，根據(jù)矩形的性質(zhì)，由點(diǎn)的平移方式即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解：（1）在矩形OABC中，B（6，8），
∴A（6，0），
∴OA=6，
設(shè)OE=a，
∴EF=AE=OA-OE=6-a，

∵，

，

在Rt△AEF中，根據(jù)勾股定理得，OE2+OF2=EF2，
∴a2+12=（6-a）2，
∴，

∴；

（2）∵BC∥OA，B（6，8），OC=AB=8，
∴P（t，8），PB=|t-6|
①當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，如圖1，

∴0≤t＜6，
∴PB=6-t，

；

②當(dāng)點(diǎn)P在CB的延長(zhǎng)時(shí)，如圖2，

∴t＞6，
∴PB=t-6，

，

即：；

（3）由（1）知，，
∴，
∵點(diǎn)D是點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，
∴，

∴，

如圖3，

∵四邊形DPNM是矩形，
∴∠DPN=90°=∠DON，
∴NP⊥DP，NO⊥OD，
∵DN是∠PDO的平分線，
∴NO=NP，

在Rt△NDO和Rt△NDP中，

，

∴Rt△NDO≌Rt△NDP（HL），

∴，
∵P（t，8），，
∴，
∴，（點(diǎn)P在線段BC上，舍去）

∴P（4，8）
設(shè)N（0，n），
∴ON=n，
∴PN=n，CN=OC-ON=8-n，

在Rt△CNP中，根據(jù)勾股定理得，CN2+CP2=PN2，
∴（8-n）2+16=n2，
∴n=5，
∴N（0，5），

即點(diǎn)P（4，8）平移到N（0，5），向左平移四個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位，

點(diǎn)D（10,0）由此方式平移后得到的M（6，-3）．

故當(dāng)t=4時(shí)，四邊形為矩形，此時(shí)M（6，-3）．