Question

13．如圖，已知拋物線y=ax²-2ax-3a（a＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，若以BD為直徑的⊙M經(jīng)過點(diǎn)C．

（1）請(qǐng)直接寫出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)E，使∠EDB=∠CBD？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）將x=0代入拋物線的解析式可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，依據(jù)拋物線的對(duì)稱軸方程可求得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，然后將點(diǎn)D的橫坐標(biāo)代入可求得點(diǎn)D的縱坐標(biāo)；
（2）令y=0可求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，過點(diǎn)D作DN⊥y軸于點(diǎn)N，則DN=1，CN=-a．接下來證明△BOC∽△CND，然后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得a的值，從而得到拋物線的解析式；
（3）先求得點(diǎn)D的坐標(biāo)、直線BC的解析式，點(diǎn)D作DE∥BC，交拋物線與點(diǎn)E．設(shè)直線DE的解析式為y=-x+b，把點(diǎn)D（1，4）代入直線DE的解析式求得b的值，然后將DE的解析式與拋物線的解析式組成方程可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)；作∠PDB=∠CBD，DP交BC于點(diǎn)P，交拋物線與點(diǎn)E．克證明MP垂直平分BD，從而可求得PM的解析式，然后由PM的解析式和BC的解析式可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，接下來求得PD的解析式，最后根據(jù)DP的解析式和拋物線的解析式可求得E的坐標(biāo)．

解答 解：∵（1）將x=0代入拋物線的解析式得y=-3a，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，-3a）．
∵x=-$\frac{2a}$=$\frac{2a}{2a}$=1，
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1．
∵將x=1代入拋物線的解析式得y=a-2a-3a=-4a，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，-4a）．
（2）解：令y=0得：ax²-2ax-3a=0
∵a≠0，故得x₁=-1，x₂=3
∴A（-1，0），B（3，0）．
如圖1所示：過點(diǎn)D作DN⊥y軸于點(diǎn)N，則DN=1，CN=-4a-（-3a）=-a．

∵BD為⊙M的直徑，
∴∠BCD=90°．
∴∠DCN+∠BCO=90°．
∵∠CDN+∠DCN=90°，
∴∠BCO=∠CDN，
∵∠BOC=∠DNC=90°，
∴△BOC∽△CND．
∴$\frac{OB}{CN}=\frac{OC}{DN}$，即$\frac{3}{-a}=\frac{-3a}{1}$，解得：a=±1（其中a=1舍去），
∴a=-1．
∴所求拋物線為y=-x²+2x+3．
（3）解：∵a=-1，
∴D（1，4）．
∵設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將B（3，0），C（0，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得：k=-1，b=3，
∴直線BC為：y=-x+3．
如圖2所示：過點(diǎn)D作DE∥BC，交拋物線與點(diǎn)E．

∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠CBD．
∴設(shè)直線DE為y=-x+b
∵把點(diǎn)D（1，4）代入得：4=-1+b，解得：b=5，
∴直線DE為：y=-x+5．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}y=-x+5\\ y=-{x^2}+2x+3\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=1\\{y_1}=4\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x_2}=2\\{y_2}=3\end{array}\right.$
∵D（1，4）
∴E（2，3）．
如圖3所示：作∠PDB=∠CBD，DP交BC于點(diǎn)P，交拋物線與點(diǎn)E．

∵∠EDB=∠CBD，
∴PD=PB．
又∵M(jìn)B=MD，
∴PM⊥BD．
∵B（3，0），D（1，4），
∴直線BD為y=-2x+6，且M（2，2）
∴設(shè)直線PM為$y=\frac{1}{2}x+{b_2}$，
∴2=1+b₂，
∴b₂=1
∴直線PM為：$y=\frac{1}{2}x+1$
解方程組$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x+1\\ y=-x+3\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{4}{3}\\ y=\frac{5}{3}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{3}$）
∵D（1，4），P（$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{3}$）
∴直線PD為：y=-7x+11
解方程組$\left\{\begin{array}{l}y=-7x+11\\ y=-{x^2}+2x+3\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=1\\{y_1}=4\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x_2}=8\\{y_2}=-45\end{array}\right.$
∵D（1，4），
∴E（8，-45）．
綜上所述，在拋物線上存在滿足條件的點(diǎn)E，點(diǎn)E的坐標(biāo)為E（2，3）或E（8，-45）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，分類畫出圖形，并求得PE的解析式是解題的關(guān)鍵．