Question

已知一三角形紙片ABC，面積為25，BC邊的長為10，∠B和∠C都為銳角，M為AB邊上一動點（M與點A、B不重合），過點M作MN∥BC，交AC于點N．將△AMN沿MN折疊，使點A落在BC的下方．設(shè)MN=x，△A′MN與四邊形BCNM重疊部分面積為y．
（1）試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）當(dāng)x為何值時，重疊部分的面積y最大？最大值為多少？

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）,二次函數(shù)的最值

專題：

分析：（1）如圖，作輔助線；首先求出△ABC的高；運用相似三角形的性質(zhì)求出A′P（用x表示），進(jìn)而求出△A′MN、△A′EF的面積，問題即可解決．
（2）借助二次函數(shù)的性質(zhì)，直接求出y的最大值，即可解決問題．

解答：解：（1）如圖，連接AA′，分別交MN、EF于點P、Q；
則AA′⊥MN、PA′⊥EF；AP=A′P；
設(shè)PQ=λ，則AP=AQ-λ，A′Q=AQ-2λ；
∵M(jìn)N∥BC，而AQ⊥MN，
∴AQ⊥BC；
∵面積為25，BC邊的長為10，
∴

1

2

×10×AQ=25，AQ=5；
∵M(jìn)N∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴MN：BC=AP：AQ，即x：10=（5-λ）：5，
∴λ=5-

1

2

x，A′P=5-λ=

1

2

x；A′Q=x-5；
設(shè)△A′MN、△A′EF的面積分別為α、β、；
則α=

1

2

x•

1

2

x=

1

4

x2；
∵EF∥MN，
∴△A′EF∽△A′MN，
∴

β

α

=(

x-5

1 2 x

)2，
∴β=（x-5）²，
∴y=α-β=-

3

4

x2+10x-25．
（2）由（1）知：y=-

3

4

x2+10x-25，
∵a=-

3

4

＜0，
∴該函數(shù)圖象開口向下，當(dāng)x=-

10

2(- 3 4 )

=

20

3

，
y取得最大值，ymax=

4×(- 3 4 )•(-25)-102

4×(- 3 4 )

=

25

3

．

點評：該題主要考查了翻折變換及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是根據(jù)翻折變換的性質(zhì)準(zhǔn)確找出圖形中隱含的等量關(guān)系，靈活運用相似三角形的性質(zhì)等幾何知識點來分析、判斷、推理或解答．