Question

4．已知方程mx²+（m-3）x-3=0是關(guān)于x的一元二次方程．
（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)根．
（2）若方程的兩根異號(hào)且都為整數(shù)，求滿足條件的m的整數(shù)值．

Answer 1

分析 （1）計(jì)算△的表達(dá)式，得到完全平方式即可證明；
（2）根據(jù)求根公式求出方程的根，由方程的兩根異號(hào)且都為整數(shù)，可求滿足條件的m的整數(shù)值．

解答 （1）證明：由已知，m≠0，
△=（m-3）²-4×m×（-3）
=m²+6m+9
=（m+3）²≥0，
故方程總有兩個(gè)實(shí)根．
（2）解：由（1）可得x=$\frac{-（m-3）±\sqrt{（m+3）^{2}}}{2m}$，
x₁=-1，x₂=$\frac{3}{m}$，
∵方程的兩根異號(hào)且都為整數(shù)，
∴滿足條件的m的整數(shù)值為1，3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了根的判別式以及一元二次方程的定義的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：
①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．