Question

（2013•來賓）在△AOB中，∠AOB=90°，AO=6厘米，BO=8厘米，分別以OB和OA所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系，如圖所示，動點M從點A開始沿AO方向以2厘米/秒的速度向點O移動，同時動點N從點O開始沿OB方向以4厘米/秒的速度向點B移動（其中一點到達終點時，另一點隨即停止移動）．
（1）求過點A和點B的直線表達式；
（2）當點M移動多長時間時，四邊形AMNB的面積最��？并求出四邊形AMNB面積的最小值；
（3）在點M和點N移動的過程中，是否存在以O，M，N為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，請求出點M 和點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件可以求出點A和點B的坐標，然后運用待定系數(shù)法就可以求出解析式；
（2）設四邊形AMNB的面積為S，M、N運動的時間為t，表示出S與t的函數(shù)關系式，再由其解析式就可以求出結論；
（3）分類討論，當△OMN∽△OAB和△ONM∽△OAB時分別求出t的值就可以求出M、N的坐標．

解答：解：（1）∵AO=6厘米，BO=8厘米，
∴A（0，6），B（8，0）．
設AB的解析式為y=kx+b，由題意，得

6=b 0=8k+b

，
解得：

k=- 3 4 b=6

，
∴直線AB的解析式為y=-

3

4

x+6；

（2）設四邊形AMNB的面積為S，M、N運動的時間為t，由題意，得
AM=2t，ON=4t，
∴OM=6-2t，
∴S_△OMN=

1

2

（6-2t）•4t=-4t²+12t．
∴S=

1

2

×6×8-（-4t²+12t），
=24+4t²-12t，
=4（t-

3

2

）²+15．
∵a=4＞0，
∴拋物線的開口向上，
∴當t=

3

2

時，S_最小=15．
答：當點M移動

3

2

秒時，四邊形AMNB的面積最小，最小值為15厘米²；

（3）當△OMN∽△OAB時，
∴

OM

OA

=

ON

OB

，
∴

6-2t

6

=

4t

8

，
∴t=

6

5

．
∴OM=6-2×

6

5

=

18

5

，ON=4×

6

5

=

24

5

，
∴M（0，

18

5

），N（

24

5

，0）；
當△ONM∽△OAB時，
∴

ON

OA

=

OM

OB

，
∴

4t

6

=

6-2t

8

，
∴t=

9

11

．
∴OM=6-2×

9

11

=

48

11

，ON=4×

9

11

=

36

11

，
∴M（0，

48

11

），N（

36

11

，0）

點評：本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的運用，二次函數(shù)的性質的運用，三角形的面積公式的運用，相似三角形的性質的運用，解答時求出函數(shù)的解析式是關鍵．