分析:先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠ABE=∠DBE,∠ACE=∠DCE,再由三角形外角的性質(zhì)可得出∠BOC=∠E+∠ACE=∠A+∠ABE,∠BPC=∠E+∠DBE=∠D+∠DCE,再根據(jù)∠A=40°,∠D=32°即可得出∠E的度數(shù),同理即可得出β2、β3、β4的度數(shù).
解答:解:∵∠ABD、∠ACD的平分線交于E,∠EBD、∠ECD的平分線交于F,
∴∠ABE=∠DBE (1),
∠ACE=∠DCE (2),
∵∠BOC是△COE與△AOB的外角,
∴∠BOC=∠E+∠ACE=∠A+∠ABE (3),
∵∠BPC是△BEP與△PCD的外角,
∠BPC=∠E+∠DBE=∠D+∠DCE (4)
(3)+(4),得:2∠E+∠ACE+∠DBE=∠A+∠D+∠ABE+∠DCE (5)
把(1),(2),代入(5),
化簡(jiǎn)得:∠E=
=
=36°,
∴∠β
1=36°,
同理可得,∠β
2=
=
=
=34°,
∠β
3=
=
=
=33°,
∴∠β
4=
=
=32.5°.
故答案為:32.5.
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點(diǎn)評(píng):本題考查的是三角形內(nèi)角和定理及角平分線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì),根據(jù)以上知識(shí)求出β1、β2的度數(shù),找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵.