Question

5．如圖在矩形ABCD中，AB=4，將矩形ABCD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形A′B′CD′，AD的延長線分別與B′C、A′D交于點E、F，使CE=2B′E，連接CF，將△CEF沿直線B′C折疊得到△CEF′，當CF′恰好經(jīng)過點D時，則在△BCD′中以BD′為底的高為$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

Answer 1

分析 （1）作輔助線，構(gòu)建直角三角形和△BCD′中以BD′為底的高；
（2）證明Rt△FGC≌Rt△CDF，得∠1=∠2=∠3=30°；
（3）利用直角三角形30°角的性質(zhì)和勾股定理求矩形的另一邊長BC；
（4）在直角△CGB和直角△D′HB中求出BH和BD′的長；
（5）利用面積相等求高CM．

解答 解：過F作FG⊥B′C，垂足為G，過B作BH⊥D′H，交D′C的延長線于H，過C作CM⊥BD′，垂足為M，
由折疊得：DC=D′C=A′B′=FG=4，
∵FC=FC，
∴Rt△FGC≌Rt△CDF，
∴∠1=∠3，
由△CEF沿直線B′C折疊得到△CEF′得：∠1=∠2，
∴∠1=∠2=∠3，
又∵∠1+∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2=∠3=30°，
∴FE=EC=2ED，
在Rt△FDC中，∵DC=4，
∴FC=2DC=8，F(xiàn)D=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴EC=FE=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∵CE=2B′E，
∴B′C=4$\sqrt{3}$，
∵∠D′CB=360°-90°-90°-30°=150°，
∴∠BCH=180°-150°=30°，
∴BH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$B′C=2$\sqrt{3}$，
由勾股定理得：CH=$\sqrt{（4\sqrt{3}）^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}$=6，
BD′=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+（4+6）^{2}}$=4$\sqrt{7}$，
則S△BD′C=$\frac{1}{2}$×D′C×BH=$\frac{1}{2}$×BD′×CM，
4×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{7}$×CM，
∴CM=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
則在△BCD′中以BD′為底的高為$\frac{2\sqrt{21}}{7}$；
故答案為：$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)和翻折變換及矩形的性質(zhì)，恰當?shù)刈鬏o助線構(gòu)建直角三角形，利用直角三角形全等得出30°是本題的關(guān)鍵，利用了直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出邊長；同時利用面積相等求高的長，這一方法在數(shù)學解題中經(jīng)常運用，要熟練掌握．