Question

【題目】如圖1，線段AB、CD相交于點O，連結AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于點M、N.試解答下列問題：

(1)在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關系；

(2)仔細觀察，在圖2中“8字形”有多少個；

(3)圖2中，當∠D＝50°，∠B＝40°時，求∠P的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）∠A+∠D=∠C+∠B; （2）有6個;（3）∠P=45°；

【解析】

（1）根據(jù)三角形內角和定理即可得出∠A+∠D=∠C+∠B；

（2）根據(jù)“8字形”的定義，仔細觀察圖形即可得出“8字形”共有6個；

（3）先根據(jù)“8字形”中的角的規(guī)律，可得∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②，再根據(jù)角平分線的定義，得出∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，將①+②，可得2∠P=∠D+∠B，進而求出∠P的度數(shù)；

(1)∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，∠AOD=∠BOC，

∴∠A+∠D=∠C+∠B;

(2)①線段AB、CD相交于點O，形成“8字形”；

②線段AN、CM相交于點O，形成“8字形”；

③線段AB、CP相交于點N，形成“8字形”；

④線段AB、CM相交于點O，形成“8字形”；

⑤線段AP、CD相交于點M，形成“8字形”；

⑥線段AN、CD相交于點O，形成“8字形”；

故“8字形”共有6個;

(3)∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，①

∠PCB+∠B=∠PAB+∠P,②

∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，

∴∠DAP=∠PAB,∠DCP=∠PCB,

①+②得：

∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P,

即2∠P=∠D+∠B，

又∵∠D=50°，∠B=40°，

∴2∠P=50°+40°，

∴∠P=45°；