Question

6．如圖，已知二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)為C（3，-16）．
（1）求此函數(shù)的關(guān)系式；
（2）作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D，順次連接A，C，B，D．若在拋物線上存在點(diǎn)E，使直線PE將四邊形ABCD分成面積相等的兩個(gè)四邊形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，直線PE大于二次函數(shù)y=x²+bx+c的值，x的取值范圍；
（4）F為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記△ABF的面積為S，當(dāng)S=16，求出相應(yīng)的F點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）直接利用頂點(diǎn)式求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）利用菱形的性質(zhì)得出直線PE必過菱形ACBD的對(duì)稱中心M，進(jìn)而求出直線PE的解析式，再利用聯(lián)立方程組求出答案；
（3）利用（2）中所求結(jié)合函數(shù)圖象得出答案；
（4）利用已知得出F點(diǎn)縱坐標(biāo)，進(jìn)而求出F點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=x²+bx+c的頂點(diǎn)為C（3，-16），
∴二次函數(shù)解析式為：y=（x-3）²-16=x²-6x-7；

（2）如圖1，設(shè)直線PE對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b，由題意可得，四邊形ACBD是菱形，
過直線PE必過菱形ACBD的對(duì)稱中心M，
將P（0，-7），M（3，0），代入y=kx+b得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=-7}\\{3k+b=\frac{7}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{7}{3}}\\{b=-7}\end{array}\right.$，
故直線PE的解析式為：y=$\frac{7}{3}$x-7，
從而聯(lián)立方程組：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{7}{3}x-7}\\{y={x}^{2}-6x-7}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{25}{3}}\\{y=\frac{112}{9}}\end{array}\right.$，
根據(jù)題意可得：點(diǎn)E（$\frac{25}{3}$，$\frac{112}{9}$）；

（3）觀察圖象得：0＜x＜$\frac{25}{3}$時(shí)直線PE大于二次函數(shù)y=x²+bx+c的值；

（4）如圖2，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)F，可設(shè)F（x，y），過點(diǎn)F作FG⊥x軸，垂足為點(diǎn)G，根據(jù)題意AB=8，
故S=$\frac{1}{2}$×|y|×8=16，
解得：y=±4，
當(dāng)y=4時(shí)，x²-6x-7=4，
解得：x=3±2$\sqrt{5}$，
當(dāng)y=-4時(shí)，x²-6x-7=-4，
解得：x=3±2$\sqrt{3}$；
∴F₁（3+2$\sqrt{5}$，4），F(xiàn)₂（3-2$\sqrt{5}$，4），F(xiàn)₃（3+2$\sqrt{3}$，-4），F(xiàn)₄（3-2$\sqrt{3}$，-4）．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了頂點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式以及函數(shù)交點(diǎn)求法和一元二次方程的解法等知識(shí)，注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，根據(jù)題意得出F點(diǎn)縱坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．