Question

14．如圖，在矩形ABCD中，E是邊AB上的點(diǎn)，將線段BE繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后交邊CD于點(diǎn)F，此時(shí)AE=CF，連接EF交對(duì)角線AC于點(diǎn)O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，F(xiàn)C=2，則AB的長(zhǎng)為（　�。�

• A． 8$\sqrt{3}$
• B． 6
• C． 4$\sqrt{3}$
• D． 8

Answer 1

分析 連接OB，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BO⊥EF，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OA=OB，根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠BAC=∠ABO，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AC，再利用勾股定理列式計(jì)算即可求出AB．

解答 解：如圖，連接OB，
∵BE=BF，OE=OF，
∴BO⊥EF，
∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，
由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半可知：OA=OB=OC，
∴∠BAC=∠ABO，
又∵∠BEF=2∠BAC，
即2∠BAC+∠BAC=90°，
解得∠BAC=30°，
∴∠FCA=30°，
∴∠FBC=30°，
∵FC=2，
∴BC=2$\sqrt{3}$，
∴AC=2BC=4$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=6．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，綜合題，但難度不大，作輔助線并求出∠BAC=30°是解題的關(guān)鍵．