Question

如圖1，已知直線y＝kx與拋物線y＝－x²＋交于點(diǎn)A(3，6)．

(1)求直線y＝kx的解析式和線段OA的長度；

(2)點(diǎn)P為拋物線第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線PM，交x軸于點(diǎn)M(點(diǎn)M、O不重合)，交直線OA于點(diǎn)Q，再過點(diǎn)Q作直線PM的垂線，交y軸于點(diǎn)N．試探究：線段QM與線段QN的長度之比是否為定值？如果是，求出這個(gè)定值；如果不是，說明理由；

(3)如圖2，若點(diǎn)B為拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)的點(diǎn)，點(diǎn)E在線段OA上(與點(diǎn)O、A不重合)，點(diǎn)D(m，0)是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠BAE＝∠BED＝∠AOD．繼續(xù)探究：m在什么范圍時(shí)，符合條件的E點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別是1個(gè)、2個(gè)？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)把點(diǎn)A(3，6)代入y＝kx得； 　　∵6＝3k， 　　∴k＝2， 　　∴y＝2x．(2012金華市) 　　OA＝．(3分) 　　(2)是一個(gè)定值，理由如下： 　　如答圖1，過點(diǎn)Q作QG⊥y軸于點(diǎn)G，QH⊥x軸于點(diǎn)H． 　�、佼�(dāng)QH與QM重合時(shí)，顯然QG與QN重合， 　　此時(shí)； 　�、诋�(dāng)QH與QM不重合時(shí)， 　　∵QN⊥QM，QG⊥QH 　　不妨設(shè)點(diǎn)H，G分別在x、y軸的正半軸上， 　　∴∠MQH＝∠GQN， 　　又∵∠QHM＝∠QGN＝90° 　　∴△QHM∽△QGN(5分)， 　　∴， 　　當(dāng)點(diǎn)P、Q在拋物線和直線上不同位置時(shí)，同理可得．(7分)①① 　　(3)如答圖2，延長AB交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FC⊥OA于點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AR⊥x軸于點(diǎn)R 　　∵∠AOD＝∠BAE， 　　∴AF＝OF， 　　∴OC＝AC＝OA＝ 　　∵∠ARO＝∠FCO＝90°，∠AOR＝∠FOC， 　　∴△AOR∽△FOC， 　　∴， 　　∴OF＝， 　　∴點(diǎn)F(，0)， 　　設(shè)點(diǎn)B(x，)， 　　過點(diǎn)B作BK⊥AR于點(diǎn)K，則△AKB∽△ARF， 　　∴， 　　即， 　　解得x1＝6，x2＝3(舍去)， 　　∴點(diǎn)B(6，2)， 　　∴BK＝6－3＝3，AK＝6－2＝4， 　　∴AB＝5(8分)； 　　(求AB也可采用下面的方法) 　　設(shè)直線AF為y＝kx＋b(k≠0)把點(diǎn)A(3，6)，點(diǎn)F(，0)代入得 　　k＝，b＝10， 　　∴， 　　∴， 　　∴(舍去)，， 　　∴B(6，2)， 　　∴AB＝5(8分)(其它方法求出AB的長酌情給分) 　　在△ABE與△OED中 　　∵∠BAE＝∠BED， 　　∴∠ABE＋∠AEB＝∠DEO＋∠AEB， 　　∴∠ABE＝∠DEO， 　　∵∠BAE＝∠EOD， 　　∴△ABE∽△OED．(9分) 　　設(shè)OE＝x，則AE＝－x()， 　　由△ABE∽△OED得， 　　∴ 　　∴()…(10分) 　　∴頂點(diǎn)為(，) 　　如答圖3，當(dāng)時(shí)，OE＝x＝，此時(shí)E點(diǎn)有1個(gè)； 　　當(dāng)時(shí)，任取一個(gè)m的值都對(duì)應(yīng)著兩個(gè)x值，此時(shí)E點(diǎn)有2個(gè)． 　　∴當(dāng)時(shí)，E點(diǎn)只有1個(gè)(11分) 　　當(dāng)時(shí)，E點(diǎn)有2個(gè)(12分)．

提示：

二次函數(shù)綜合題．