Question

如圖，已知在△ABC中，∠ACB=90°，點D在邊BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分別是垂足．
（1）求證：AC²=AF•AD；
（2）聯結EF，求證：AE•DB=AD•EF．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）證明△ACD∽△AFC，得到

AC

AF

=

AD

AC

，即可解決問題．
（2）證明A、E、F、C四點共圓，得到∠AFE=∠ACE，這是解決該問題的關鍵性結論；證明∠AFE=∠B，結合∠FAE=∠BAD，得到△AEF∽△ADB，列出比例式即可解決問題．

解答： 解：（1）如圖，∵∠ACB=90°，CF⊥AD，
∴∠ACD=∠AFC，而∠CAD=∠FAC，
∴△ACD∽△AFC，
∴

AC

AF

=

AD

AC

，
∴AC²=AF•AD．
（2）如圖，∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴A、E、F、C四點共圓，
∴∠AFE=∠ACE；而∠ACE+∠CAE=∠CAE+∠B，
∴∠ACE=∠B，∠AFE=∠B；
∵∠FAE=∠BAD，
∴△AEF∽△ADB，
∴AE：AD=BD：EF，
∴AE•DB=AD•EF．

點評：該題主要考查了相似三角形的判定及其性質的應用問題；解題的關鍵是靈活運用相似三角形的判定及其性質來分析、判斷、推理或解答．